CHAPITRE IX. — FIGURES D'EQUILIBRE, ETC. 3l

Ces valeurs portees dans lexpression de (4 0 donnent

(46) *C) = -(*S-+AaiV|) = «9(5)- L' expression (4^) s'ecrira alors

Gette expression doit s'integrer de a a <r, pour avoir la valeur de v. l'ordonnee de la courbe meridienne. Gomme cp ne contient

que le rapport — des deux rayons du tore et^> on obtiendra

pour — une expression qui sera seulement fonction de ces trois quantites,

Gomme nous avons une integrate hyperelliptique, la fonction <1> s'obtiendra par developpements en series. Pour les petits anneaux et les petites valeurs de a', on developpe suivant les puissances

entieres de — ■ Quand a se rapproche de a, pour les anneaux a

grand rayon, on developpe suivant les puissances de i —

Pour x — a1 , la courbe meridienne de l'anneau se forme, y = o dans (48) et Ton obtient la relation entre h et

Gette expression determinera, pour chaque valeur de h, une qu plusieurs valeurs du rapport^-, trois au plus. Pour chacune de

ces valeurs de — , la courbe meridienne de la section de l'anneau,

definie par (48) sera identique, en prenant a comme unite, quelle que soit la valeur des donnees p, w, f contenues dans h.

On ven a t:u outre qu'a chaque valeur du rapport ^> variant de

o a i , ne correspond qu'une seule valeur de /<, dans (49). Si done on

prend - comme parametre, a chaque valeur de ce rapport cones-

3i4 figures d'equilibre d'une masse liquide en rotation.

pondra pour (48), en prenant a pour unite, une seule courbe meridienne, a laquelle toutes les autres seront homothetiques, dans lo rapport d'homothetie a.

11 suffit done iei de se donner ^ pour determiner completement

la forme de la figure d'equilibre. II suffira de calculer ensuite la valeur de a d'apres les donnees du probleme pour determiner la vraie grandeur de cette figure.

125. Determination du rayon interieur de l'anneau et de sa variation. — On peut done prendre a comme unite, pour determiner la forme des figures. Faisons alors a = i dans (46), on pourra ecrire pour la paren these

(5o) ? ( x ) = hx'+ -+- A x- -+- B .

L'expression <I> de (4<)), qui definit — ou d en fonction de //, pourra s'ecrire

,5l) (p Ca {hx^± A-f--:- B)rf.r /'"' s(.r)rf.r

Gette integrate donne une fonction de d et de A, qui doit etre nulle, d'apres (49)? pour les valeurs de a! et de A, qui correspondent a des figures d'equilibre. Nous allons determiner la variation de cette fonction, par rapport a A, pour determiner le nombtv de ses racines en d, pour chaque valeur de A.

Prenons done la derivee de <I> par rapport a A. La derivee de Telement d'integration donne

0 ? x'2 do x-(i — x'2)(xi — a''-)

Or on a aussi

^(I> r 1 Ate

/ on/ , ;>n r

ou <p, est une expression toujours positive