CHAPITRE II. — ATTRACTION ET POTENTIEL

Les coefficients A,, A2, ... dependent de la direction dans laquelle

P s'eloigne indefiniment. Alors V tend vers zero comme ~

quand R augmente indefiniment, c'est-a-dire lim YR = M.

Si le point O est au centre de gravite G, alors Ai = o) et

VR — M est, pour R tres grand, de l'ordre de

2" Les derivees premieres ^ •• • sont finies et continues dans r Ox

tout l'espace. A l'infini elles sont nolles, de l'ordre de ~ •

5 Les derivees secondes et en particulier — -> -r—^>— m sont

r ox2 ay- az2

partout finies; mais elles sont discontinues. Ghaque fois que P passe par une surface de discontinuity S, de la densite p, les derivees secondes subissent egalement une discontinuity {fig. 5). II

Fig. 5.

en est ainsi en particulier quand P traverse la surface S du corps attirant. On a, en effet, a Finterieur

(9) AV=— 4^p,

o etant la densite au point x, y, z, et a l'exterieur

AV = o.

Si done p est discontinue, l'une au moins des derivees secondes Test aussi.

Ces proprieles sont fondamentales et caracteristiques. Si une fonclion les possede, e'est un potentiel.

7. Theorems de Gauss. — Soiimt une masse attirante de potentiel \. el S une surface fermee quelconque; cherchons l'inteirrale du second membre de la formule de Green, ecrite sous

APPIM.L. —

la forme (4)

Faisons U = I et appliquons-la au volume T limite par la sur-

Fig. 6.

face S ( fig. 6) ; on a

et puisque dans tout l'espace AV — — 4 7rp> on a

M' etant la quantite de masse attirante contenue a l'int^rieur de S.

De ce resultat, on peut deduire que le potentiel ne peut avoir, en dehors des masses attir antes, tii maximum ni minimum.

En un point P0 par exemple, exterieur a M, il ne peut pas y avoir de minimum. En effet, s'il j avait minimum, le potentiel augmenterait quand on s'eloignerait de P0 dans une direction quelconque. Entourons P0 d'une petite sphere ajant son centre en P0 et appliquons a cette sphere, de rajon assez petit pour qu'elle ne contienne pas de masses attirantes, le theoreme de Gauss; on a

dV ^ ' dV dV

s da dn ~ dr

r etant la distance du point M de la petite sphere a P0. On peut prendre r assez petit pour qu'en tous les points de la sphere

soit positif, si le potentiel augmente par hvpothese a partir