CHAPITRE IX. — FIGURES D'EQUILIBRE, ETC. 3l

Tous les elements d'integration dans (02) sont done positifs, et

la derivee ^ est (.011 jours positive, avec a <l 1. Ainsi a', ou a' : a,

elant donne, croit constamment avec /i. II j a done toujours une valeur et une seule de h qui annule *I> et donne une figure d'equilibre d'apres (4f)).

Prenons a' et comme axes de coordonnees et tragons les courbes de pour differentes valeurs de k (Jig- 07).

fig. 57,

On voit d'abord sur la formule qui donne <D que pour a = a 011 a'— 1, on a $ = o quelle que soit la valeur de h. Toutes les courbes passeront done par le point A, situe sur l'axe des a1 , avec OA = 1 .

Pour h — 2,32, l'anneau se forme et a ~ o. La courbe part de l'origine. On la construit point par point, au mojen des developpements en series. Elle monte d'abord, passe par un maximum, et redescend en coupant l'axe a au point B, puis se termine au point A.

Cette valeur de h donne done trois racines de <$> en a' , et trois figures d'equilibre differentes : la premiere figure annulaire, 011 le rayon interieur de l'anneau est. nul, a\ = 0, point O; la figure annulaire extreme, avec a tres grand et a tres voisin de a, e'est-a-dire a'=i, point A; enfin une troisieme figure annulaire correspond au point B, ou l'on a environ a[, = o,g«.

D'apres La demonstration faile plus haut, ou ^ est toujours

positive, La valeur de <l> doit croitre aver //. Par consequent pour

3i6 figures d'equilibre d'une masse liquide en rotation.

toutes les valcurs de h plus grandes que 2,3a, la courbe des valeurs de sera tout entiere au-dessus de la courbe type precedente, courbe II2EA par exemple. La fonction , en dehors de a'=i, n'aura qu'une racine correspondant au point E. II n'j aura qu'une valeur de a' correspondant a cette valeur de h et une seule figure d'equilibre.

Au contraire pour les valeurs de h pins petites que 2,32, la courbe de sera tout entiere au-dessous de la courbe type, en H,GC'A par exemple. Elle coupe l'axe de deux points C, C Elle determinera done deux valeurs de a , racines de <1> et deux figures d'equilibre pour cette valeur de h. Ces racines sont interieuies a celles de la courbe type et se rapprochent 1'une de l'autre a mesure que la valeur de h decroit. On a une racine double pour h = 0,9 avec a! \ a = o,54, ou a atteint deja les 9 dixiemes du rayon primitif de la sphere.

La courbe des variations des valeurs de a' : a par rapport a h est donnee par la figure 58, O'CDC'BA, ou les points representent

Fig. 58.

les memes valeurs que les memes points de la figure 5^, on a mis seulement O' au lieu de O, pour h = 2,32. De plus, le point A de la figure 5^ serait represents par tous les points de la droite AA', puisque a' = 1 est solution de quelle que soit 1i.

126. Determination du rayon exterieur a de l'anneau et de sa variation. — Comme dans le premier cas, apres avoir determine la forme des figures d'equilibre au moyen de a' :a et A, d'apres les formules et les discussions precedentes, on calculera la vraie grandeur de ces figures en determinant a par une nouvelle relation,