CHAPITRE IX. — FIGURES D'EQUILIBRE, ETC. 3lJ
celle qui donne le volume de la masse, quantite donnee. On a
? = 2 - f i?a dy = 2ica3 ^ ^ rf£ = 2jca3 F ^A, | j
F est la fonction qui represente 1'integrale hyperelliptique, dont l'element d'integralion est le meme que celui de dy, multiplie par x1. Com me 1 'integration se fait de a' a a, on obtient une expression F uniquement fonction de h et de — comme pour <£ de (49)?
car l'integrale est fonction uniquement de //, ^- et ^ et dans la seconde limite on fait ici x — a'.
Ayant determine, an moyen de <t> (49)5 les valeurs de a': a correspondant a une valeur de h, on inversement la valeur de h correspondant a une valeur de a\ la formule (53) nous donnera la valeur de a, correspondant a une valeur quelconque de h ou de a', c'est-a-dire la grandeur vraie de Tune quelconque de nos figures d'equilibre
On a en derivant
da* V dF dF OF da' JF dh ~ i.acF* dA ' rfA ~ da ~dh+dh'
On demonlre que ^ est toujours positif, comme ^> ce qui est
evident, puisque F ne differe de que par le facteur x2:a2 qui ne contient pas A.
Ces formules et les developpements en serie, permettent de demontrer qu'a partir de la formation de l'anneau a' == o, le rayon exterieur a decroit et assez rapidement, en meme temps que A, mais moins longtemps que celui-ci. Comme le rayon interieur a' croit an contraire et assez vite, on voit que l'anneau, au moment de sa formation, se contracte brusquement sur lui-meme. Sa section m< i idienne, d'abord allongee vers l'axe de rotation qu'elle quitte, prend tr£s raj)idement une forme elliptique, presque circulaire, alors que le centre de cette section ne se deplace presque pas.
C'est un phenomena tres curieux de brusque contraction, sous ['action <!<• La tension superfieielle, quand la derniere membrane
3i8 figures dequilibre d'une masse liquide en rotation.
centrale, qui empechait la formation de l'anneau, vient a se rompre, phenomene tres bien analyse dans toutes ses phases par le calcul mathematique. C'est un phenomene analogue a eel ni de la division d'un mince filet fluide en gouttelettes. Le calcul demontre d'ailleurs que les figures d'equilibre sont instables au voisinage et au moment de la formation de l'anneau . On comprend qu'il y ait passage brusque d'une forme a l'autre. L'experience montre egalement que le passage d'une forme a l'autre est tres rapide, pour aboutir a des formes plus stables.
Le grand axe qui etait egal a 1,67 du rayon de la sphere primitive au moment de la formation de l'anneau point C, se contracte a i,43, e'est-a-dire a 0,84 de la valeur precedente, ou de 0,16, puis croit ensuite indefiniment (courbe CDa, fig. $9). La
courbe ABC represents la variation de a par rapport a la vitesse de rotation pour les figures non annulaires, le point de depart etant en A, ou 1 , pour la sphere, avec 0 = 0.
127. Variation de la vitesse de rotation w. — Apres avoir determine le rayon equatorial a, on peut tirer la vitesse de rotation de la valeur du parametre h, comme dans le premier cas
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La fonction F permet de determiner ses valeurs et sa variation.
La vitesse de variation croit d abord au moment dela formation de l'anneau et de sa contraction brusque, sans atteindre tout a fait sa valeur maximum du cas precedent. Son maximum actuel est atteint environ quand a a efFectue la moitie de sa contraction.
