CHAPITRE IX. — FIGURES D'EQUILIBRE, ETC

L'expression (3) du rayon decourbure R de la meridienne s'6crit dans le cas des anneaux. d'apres (40'

/ - \ 1 , . „ B B (a;) f± = 3A*a?*-l- A ;, - =Uia»+Aa

Pour le cercle, ce rayon de courbure est constant, on le designe par r et on le determine pour la valeur x = a, d'ou la seconde expression.

On a aussi v egal a la demi-difference de a et a', en remplagant A et B par leurs valeurs (44)? (45), on obtient

(58) ->.k-a{a- — a'*) — i, r== -(« — a'), d'ou, en remplacant A2 par sa valeur en fonction de h,

(59) ?Jfar(a-r) = l, A = *««*=^,

si a tend vers 1'infini, r tend vers zero, A tend vers l'infini.

D'autre part le volume du tore s'ecrit d'apres le iheoreme de Guldin, R etant le rayom de la circonference decrite par le centre de la section,

(60) V = 2-K.~/-2= 2tt2/^(« — r) = 27t2a3 —

On voit egalement que r tend vers zero quand a tend vers l'infini.

•En multipliant (5g) et (6o) l'une par l'autre, il vient

pw2V r M r

v ' i Tz- f a 2 rS-f a

Le carre de la vitesse de rotation est proportionnel au rapport du rayon de la section au rayon equatorial. Ces deux valeurs tendent vers zero, quand a croit indefiniment.

En portant la valeur de (6i) dans (59) on a

(62) i ~ r^Jj

AwS^= = const

Comme ua est ires petit de I'ordre de (61), on peut le negliger

aimm'.i.I.. — IV.

'\t>. figures d equilibre d"une masse liquide en rotation.

dans la parenthese de (62) et Ton obtient la seconde formule (62), c*)2 varie en raison inverse de h.

Les forrnules (5g) ou (60) permeltent de calculer r pour une valeur donnee de h ou de a. On en deduit ensuite w2 p ir (61). On verifie par (67) que ^approximation avec laquelle le cercle verifie l'equation de la courbe meridienne.

Remarque. — Cetle formule (67) donne les points d'inflexion de la courbe meridienne, pour R = 00

(63) 3£2.2;4-h kx- — B = o.

On verifie que deja pour a' > 0,08, la courbe meridienne est partout convexe.