I = ^4(S — 3AV
D'apres la formule (44)) qui donne A, la formule (35) est un eas particulier de (66) en faisant a' = o, d'ou B = o. On aura de mSme pour l'energie
(67) W == -fo^-H/S = I/(-S-G AV).
A remplace 1 : R0 de (36).
132. Stabilite de Fequilibre. — On a toujours, com me dans le premier cas, les deux formules qui definissent l'equilibre et sa stabilite
'68} — = — = - to2 (dSYdn
dS to"2' da- 2 \da / c/S-
Pour la stabilite il faut^-4<Co. 11 faut etudier la variation du
moment d'inertie I par rapport a la surface totale S.
On montre d'abord que la courbe de variation de I par rapport a gj est la meme que celle de a par rapport a la meme variable, celle de l'energie egalement.
On en deduit ensuite que la courbe de variation de I par rapport a &>, a partir de la formation des anneaux w — 0,71, tourne d'abord sa concavite vers le haut, presente un point d'inflexion pour la vitesse maximum des anneaux oj — 0,^4? tourne ensuite sa concavite vers le bas jusqu'au point coj respondant au minimum simultane de I, de S et de a, ou la courbe a un point de rebroussement pour 00 = 0,66, la courbe tourne ensuite sa concavite vers le haut comme au debut.
II \ a equilibre ^tahle ^ ,^ < o, seulement dans le second inter-
valle, quand la courbe tourne sa concavite vers le bas, pourcocom-
i ' i FIGURES D'EQUILIBRE D'UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.
pris entre 0,66 et o,j/\. G'est la seconde partie de l'intervalle 011 a dccroit, portion B'D.
133. Inexperience de Plateau et les resultats mathematiques. —
Dans son « Memoire sur les phenomenes que presente une masse liquide libre et soustraite a Taction de la pesanteur » (') relate les resultats de ses experiences sur la rotation d'unc masse d'huile dans un melange d'eau etd'alcool d'egale densite. La rotation etait obtenue au mojen d un axe vertical, qui entrainait un disque dont le centre coincidait avec celui de la sphere d'huile.
En faisant tourner la sphere d'huile on constate qu'elle s'aplatit aux poles et se renfle a l'equateur, ire phase.
Pour une vitesseplus grande, elle se creuseaux poles, en dessus et en dessous, en s'etendant dans le sens horizontal. Les deux poles se touchent et la masse prend la forme d'un anneau pour une vitesse d'environ un tour par seconde, 2e phase.
En augmentant encore la vitesse du disque, l'anneau se dilate jusqu'a un diametre de 9 a iocm, la section meridienne de l'anneau prenant une figure sensiblement circulaire, 3e phase.
Si Ton arrete la rotation, l'anneau se contracte, repasse par les meraes phases en sens inverse, reforme la masse centrale, qui reprend sa forme spherique, 4e phase (§ 11 du Memoire).
L'evolution des formes est bien tres exactement celle qui a ete calculee par la theorie. Dans le developpement maximum de l'anneau, en prenant le rajon de la sphere primitive comme unite, on aurait a = 1,26, a — i et le rapport des axes de la section meridienne, supposee elliptique serait 0,98. Elle seraitvue parfaitement circulaire.
II faut remarquer que Plateau n'a pas note de contraction brusque au moment de la formation de l'anneau, alors que, meme au point de vue physique, elle est necessaire, car il j a une pointe de rebroussement qui s'arrondit, et la tension superficielle doit ramener brusquement cette partie a sa nouvelle forme d'equilibre.
Dans l'experience de Plateau, il fautaugmenter continuellement la vitesse du disque pour arriver a la forme annulaire, et dilater l'anneau, alors que dans la theorie la vitesse de rotation co passe
(') Me moires de V Acad emie roy ale de Bruxelles, t. 16.
