CHAPITRE IX. — FIGURES D'EQUILIBRE, ETC
par un maximum avant meme la transformation en anneau. Mais, comme le conslate Plateau, la vitesse dela masse est toujours inferieure a cellc du disque et cela de plus en plus a mesure que la masse se dilate horizontalement. La vitesse de rotation w peut tres bien diminuer quand celle du disque s'accroit. II faut quele disque fournisse une energie toujours plus grande pour permettre a la masse de vaincre les frottements du milieu, lui donner le moment
de rotation lco ou l'energie cinetique ^ Ico-, correspondant a sa
vitesse co, meme decroissante.
Cependant l'experience de Plateau, qu'on est habitue a voir dans les livres, aboutissait an fractionnement de la masse d'huile en deux autres : une masse centrale entouree d'un anneau, qui pouvait lui-meme se fractionner en plusieurs parties.
Mais cette seconde forme de l'experience n'est qu'un cas tres parliculier des experiences generales precedentes, et obtenue par un artifice experimental special. Ces resultats sont relates seulement au paragraphe 21 du Memoire de Plateau. II fallait placer le disque tournant a la partie inferieure de la masse d'huile et lefaire tourner a une vitesse tres grande de i5 tours par seconde.
11 j a alors une tres grande difference de vitesse entre les differentes parties, comme le note Plateau. Ce sont ces differences de vitesse qui produisent alors le fractionnement et non la vitesse meme.
Pour entreprendre l'etude mathematique de ce cas, il faudrait introduire des vitesses de rotations variables dans la masse et ce serait tres complique.
On pourrait du moins reunir les deux resultats. des discussions ci-dessus, fractionner une masse en deux autres, l'une centrale, Tautre annulaire, etudier les variations de leur forme et de leur grandeur, les amener a etre tangentes avec la meme vitesse de rotation, ou des vitesses differentes. On aurait une representation de la seconde forme de l'experience de Plateau.
On pourrait egalenient renouveler l'experience de Plateau en realisant une vitesse de rotation plus unitbrme, en faisant tourner It: \ .ise lui-meme avec une acceleration faible. La fixite et l'entrainement de la sphere d'huile pourrait etre realisee par un ou plusieurs (ins reseaux metalliques places a I'interieur du vase.
134. Cas d'une masse soumise a la fois a la gravitation et a la tension superficielle. — A Finterieur de la masse la gravitation et la force centrifuge agissent seniles. Les surfaces d'egale pression seront donnees, comme dans le cas de la gravitation seule, par la formule (48) (Chap. III). A la surface, il faudra ajouter comme dans (2), n" 109, la pression exterieure qui rentre dans la constante et le potentiel du a la tension superficielle, que nous designerons maintenant par f, au lieu de/, qui represente la constante de l;i gravitation. On aura pour definir l'equilibre de la surface libre, V representant le potentiel du a la gravitation,
(fi9) /v-r^-f (r + rO-c
Le terme V croit comme le carre des dimensions, alors que la tension superficielle varie en raison inverse du rayon de courbure, qui est proportionnel aux dimensions lineaires, pour des figures semblables. Pour les grandes masses e'est done Faltraction qui l'emportera, Faction de la tension superficielle sera negligeable. Pour les petites masses au contraire la gravitation deviendra negligeable et e'est la tension superficielle qui seule jouera un rdle pour limiter et definir la grandeur de la deformation creee par la force centrifuge.
135. Relation de Poincare etendue a ce cas general. — Nous avons etabli au n° 29 (Chap. IV) une relation remarquable due a Poincare, dans le cas de la gravitation seule, entre Fenergie totale W de la masse, son moment de rotation I, son volume T et la valeur de la fonction de force constante a la surface U0. Onpeut Fetendre au cas de la tension superficielle par le raeme calcul. On a ici d'apres (69), p = 1 ,
(to)
Les variations <3V, 51 dans le cas d'un deplacement virtuel quelconque sont les memesqu'au n° 29. On a de plus pour la variation de la surface
