CHAPITRE II. — ATTRACTION ET POTENTIEL

de P0. Dans ce cas, tous les elements de I'integrale seraient posit its et I'integrale ne pourrait pas etre nulle. On monlrerait de m&me qn'il ne pent pas exister de maximum.

// ne peut pas non plus y avoir de minimum a V inter ieur des masses attirantes, mais il peut y avoir un maximum. En

efTl't, procedons de mime, ~ serait encore positif pour tous les

points de la petite sphere et I'integrale positive; or, le theoreme de Gauss

Js an

exige. au contraire, que cette integrale soit negative.

Sur une surface fermee ne comprenant pas de masses attirantes, le potentiel \ sera compris entre deux limites g et h telles que

A l'interieur de cette surface, V sera aussi compris entre g et h\ autrement, en un certain point de T, le potentiel V passerait par un maximum on par minimum. En particulier, si g=h, V est constant sur la surface et par consequent a l'interieur. On peut demontrer directement cette derniere proposition. Ecrivons la

formule de Green relative au champ de vecteurs V~, U~-y

r ax ay az

jf""^X[(S)v(f)%(S>=X»

— dr dn

Soit Y = C la valeur constante du potentiel sur S. Gonsiderons la fonction U = V — G et appliquons-lui la formule de Green. On a AU = AY = o puisqu'il n'y a pas de masse attirante dans T.

U da — o puisque U est constamment nulle sur la

surface. II reste

jCKS'HgMi)']*-*

Les derivecs partielles de U sont done nulles en tous les points de T. Ainsi U est une constante et, comme U est nul a la surface, U est nul d;»ns tout le domaine. Done V — G a l'interieur de T.

On appelle fonction harmonique dans un domaine S une fonction uniforme, finie et continue dans ce domaine, possedant les derives necessaires et satisfriisant a l'equation AY = p dans ce domaine. Une fonction harmonique constante sur une surface est conslante a l'interieur.

Gonsiderons maintenant une surface a Vinterieur de laquelle sont les masses attirantes. Sur S, le potentiel est compris entre deux limites g et h. Le potentiel ne pourra pas prendre a l'extericur de valeurs superieures a h, car a l'infini V tend vers zero, et si quelque part il devenait plus grand que /i, il y aurait en un certain point un maximum de V, ce qui est impossible.

Supposons g = h = C Sur la surface V = C et a l'exterieur, onaV<G.

Enfin si V = o sur la surface, il est nul partout a l'exterieur de S. On peut donner une demonstration directe de ce dernier point.

Gonsiderons une sphere 2 de tres grand rayon R comprenant S

Fig. 7.

a son inlerieur, et appliquons le theoreme de Green au volume compris entre S et 2 (fig- 7),

C\rdW 1 Caj dW 7 = / V -j- cfo -j- / V -j- ch.

an Js dn

AV = o dans cet espace; de plus, V est nul sur S. Le premier et le dernier terine sont nuls. L'integrale relative a la sphere tend