CHAPITRE II. — ATTRACTION ET POTENTIEL
vers zero quand R est tres grand, car sur la sphere M dV M
dV dV da dR
dR
d<j = R- do),
en appelant do* un element superficiel de la sphere concentrique de rayon i .
L'integrale qui est relative a la sphere 2 devient (K etant fini) Elle tend bien vers zero quand R augmente indefiniment ; il reste
d'oii il suit que V est constant dans tout l'espace exterieur a S, et comme il est nul a l'infini, il est nul partout.
8. Formule de Poincare. — Etant donnees deux fonctions V et V, qui possedent les proprietes d'un potentiel, la premiere par rapport a un corps T limite par une surface S et de densite p, la
Fig. 8.
seconde par rapport a un corps T, , S( , p, ( fig. 8), on aura, pour l'espace entier,
Pour le demontrer, prenons un point O comme centre et decrivons une sphere de grand rayon 2 comprenant T et T, dans son
inlerieur. La formule de Green appliquee au volume T' compris
entre S et 2 donne
x dx ' dy dy dz dz )
~~Jy 1 da J„ 1 dnL
La normale exterieure au volume T' est la normale interieure aT; c est pour cela que nous ecrivons
Etudions l'integrale du second membre, relative a 2, quand le rajon Rdela sphere grandit indefiniment. V, est de l'ordre de ^;
^ =z ^ est de l'ordre de -^-j enfin da = R2 cloy. d<ss designant dn dR K2 °
l'element de surface correspondant a da sur la sphere de rayon i . On reconnait que l'integrale est de l'ordre de ^ et tend vers zero quand R augmente indefiniment.
Appliquons maintenant la formule de Green a la surface S et au volume T :
f V, AV dz + f(^l — -+- ^ — H- ^1 — ) dx = (*Y —da JT 1 JT \ dx dx dy dy dz dz ) " Js 1 dne
Ajoutons les deux equations; il vient, pour l'espace entier,
J 1 " J \dx dx ^~ dy dy dz dz / " ~ '
d\ dW • . j c
car -j— = j— > en tout point de o.
ant dne 1
Cette relation peut s'ecrire, en etendant l'integrale a tout l'espace,
J J \dx dx dy dy dz z j
i° Cette formule nous permet de demontrer que les proprietes reconnues du potentiel sont caractcristiques.
Soit, en effet, une masse attirante de potentiel U, etsoit U' une autre fonction possedant les proprietes analjtiques de U. Je pose V = U — U'; cette nouvelle fonction V possede 6galement les proprietes du potentiel. Elle est continue et finie, elle admet
