CHAPITRE II. — ATTRACTION ET POTENTIEL

des derivees premieres continues, ses derivees secondes sont discontinues et AV = o dans tout Fespace.

Appliquons la formule de Poincare en faisant d'abord V , — V et en prenant pour V la valeur CJ — U'; on a

les integrates etant etendues a tout Tespace. Or AV est nul partout, la seconde integrate est done aussi identiquement nulle

d\ dV dV , , v

partout, ce qui exige — = — = — := o, c est-a-dire V constant

et, comme V est nul a l'infini, V est nul dans tout l'espace et LJ' est identique a U.

2° En permutant V et V1 dans la formule de Poincare, il vient, en retranchant les deux equations ainsi obtenues,

(14) ^(ViAV — VAVi)rfu = o on J(?\1—?iV)d-=o.

Mais p est nul partout a l'exterieur de T, et p< nul partout a Texterieur de T, ; on peut done ecrire la formule precedente

(15) f pVj dx = f PlV d-z.

Nous utiliserons ce resultat dans l'etude de l'energie potentielle d'un corps attirant.

9. Forme des surfaces equipotentielles. — Si Ton fait V = G, on obtient certaines surfaces dites equipotentielles. La force est, en chaque point, normale a la surface equipotentielle qui passe par ce point et elle est dirigee du cote des potentiels croissants.

Ges surfaces peuvent se classer en trois especes :

i" Si G est tres petit, l'equation d'une surface equipotentielle peut se mettre sous la forme ~ + ^ = G, en appelant R la distance a un point interieur du volume attirant. Pour R tres grand, celte surface est voisine d'une sphere de centre O. 11 j a done des sin laces equipotentielles fermees entierement exterieures aux masses attirantes et les enveloppant.

2° II y a en general un maximum a l'interieur des masses attirantes. Pour une valeur do G assez voisine de ce maximum, on obtient des surfaces completement interieures au corps attirant.

3° Enfin, pour des valeurs intermediates, on pourra trouver des surfaces equipotentielles situees en partie a l'interieur, en partie a l'exlerieur du corps attirant.

10. Potentiel de quelques corps attirants. — i° Sphere homogene. — Soient a son rayon et p sa densite. Pour le potentiel exterieur, on a immediatement

Pour obtenir le potentiel interieur, decomposons la sphere en deux parties dont Tune est la sphere de rayon r, sur laquelle se trouve le point considere. L'attraction sur P de la couche ext£rieure est nulle. L'attraction de la sphere de rayon est la meme que si toute la masse etait concentree an centre

(17) r<a, F=-/| ^ =-|«/pr.

Le travail de l'attraction pour un deplacement elementaire

de P est

F clr = — \ 7i f p rdr = f d V, V == — - <xp r* -t- C.

Pour determiner la constante C, on peut ecrire que les deux valeurs du potentiel exterieur et interieur deviennent egales sur la surface. Pour /• = a, on a done

(18) ^7ia2p= — |^pa2H-G, G — 27za-p, \ = -i-a-p — ^-r-p.

On peut faire un certain nombre de remarques sur ce cas particulier :

a. II n'y a pas de surfaces equipotentielles de la troisieme categoric ;

b. V est maximum au centre oii sa valeur est 2 7r#2p;

c. La surface libre est une surface equipotentielle.

Nous voyons sur cet exemple que l'expression analytique du