CHAPITRE II. — ATTRACTION ET POTENTIEL

potentiel n'est pas la meme a l'interieur el a l'exterieur de la sphere. Ces deux expressions ne sont pas le prolongement analytique Tune de l'autre.

2° Ellipsoide liomogene. — L'attraction des ellipsoides a fail l'objet de tres nombreux travaux. Lejeune-Dirichlet, en exposant sa methode dans le Tome 32 du Journal de Crelle, resume tout ce qui a ete fait sur la question. C'est une methode de verification. ( )n ecrit une certaine expression analytique pour l'interieur et pour l'exterieur, et l'on montre que ces fonctions jouissent des proprietes caracteristiques du potentiel, qu'elles sont bien le potentiel.

Soient un ellipsoide a trois axes inegaux, X, Y, Z les coordonnees d'un point de la surface, et x, y, z celles d'un point extcrieur P ; on aura

- + ttH 7 — 1 = 0 Cl - + ^-H ■— I > ().

Gonsiderons maintenant liquation suivante :

Le premier membre est positif pour u = o, decroit constamment quand u augmente, et devient egal a — i pour u infini. L'equation admet done une et une seule racine positive. Soit u cette racine ; le potentiel a l'exterieur a pour expression

(20) V = r.abcp j (\

dX

oii l'on pose

(ai) <p(X) = (a*-h X) (*«4- X) X);

u depend de x, y, z. Ainsi V depend de x, yy z de deux fagons : par la quantite sous le signe somme, et par la limite inferieure de I'integrale.

Pour un point interieur x, y, zy on aura

Sur la surface, la racine u est nulle. Les deux fonctions considerees se raccordent done sur la surface.

Ges fonctions V ont bien les proprietes du potentiel. En effet :

i° Ges fonctions sont finies et continues. Si P s'eloigne indefiniment de fagon que OP tende vers une direction fixe a, (3, y,

V tend vers zero comme jr* En eftet, posons

L'equation de condition deviendra

g» R2 g^Ra y- R2

Cette equation a une racine positive en des que P est exterieur a l'ellipsoi'de. Si R augmente indefiniment, cette expression devient

-j- + - .- -I- -7 1 = 0, a ou k — 1.

Ainsi, quand R augmente indefiniment, la limite de ^ est 1, u devient infini comme Pt2, et I'integrale devient nulle de l'ordre ^ •

20 Les derivees premieres sont continues, et AV = — 4^p dans tout I'espace, p etant nul a V exterieur de Vellipsoide. La verification se fait par un calcul qu'on trouvera dans le Tome III de ce Traite, n" 602, Ghapitre XXIX.

S urfaces e~quipotentielles de Vellipsoide homo gene. — Posons

dl

Jo V?(X

Jo (as+X)v/f(X)' ^0 (*2H-X)v/5TX)' */„ (c«-f-X)i/

Le potentiel a l'interieur s'ecrira (23) V = xabcp(K — A.xn-— Bjk2-4- Cz*-).

II est maximum au centre et egal a nabcpK.