CHAPITRE II. — ATTRACTION ET POTENTIEL

Les surfaces equipotentielles sont donnees par l'equation

( 24 ) K — A x 2 — By- — G g- = h on Ax--h B72 + C.s-= K — h = ;j. ;

taut que la valeur de h est suffisamment voisine de K, 1'ellipsoide ainsi defini reste a l'interieur de 1'ellipsoide attirant, et les surfaces equipotentielles sont des ellipsoides homothetiques et concentriques.

Gomparons ces surfaces a 1'ellipsoide attirant en supposant c < b <C cl\ on a

< ~rz : r <

pour toutes les valeurs de X. On a done, entre les integrates A, B, C, les relations

Ecrivons 1'ellipsoide de potentiel conslant; on a

aT* + V* + ^

ainsi, les ellipsoides sont allonges dans le meme sens que 1'ellipsoide attirant.

Fig* 9-

To

Mais leur excentricite est nioindre, ils sont moins aplatis. En efFet, formons la combinaison

J0 (a2 hx)(^H-X)V/<p(X)

Cette expression est positive; on a done bien A a- — B 62 > o,

Supposons que l'ellipsoide de niveau grandisse en restant homothetique, c'est-a-dire que la constante h partant de la valeur maximum K diminue. Au moment ou les deux ellipsoides deviennent

tangents, on a {fig. 9)

, = c = c, h = K — \x = K — Cc2 et — < — < 1 C a b

Done l'ellipsoide de niveau, d'abord constamment interieur au volume attirant, lui devient tangent aux deux extremites du petit axe c au moment ou c — c, mais reste entierement a son interieur.

Faisons decroitre encore h. La surface equipotentielle se compose alors de deux portions de surface : une portion d'ellipsoide a l'interieur, et une autre surface a l'exterieur {fig. to). Mais, le

Fig. io.

longde la courbe d'intersection de l'ellipsoide attirant et de la surface de niveau, les surfaces exterieures et interieures se raccordent, car elles ont meme plan tangent. Les elements de courbure, au contraire, sont discontinus, carils dependent des derivees secondes.

Au moment ou b' = b, on a encore — << 1 . La surface de niveau

Fig. 1

est tangente a l'ellipsoide attirant aux extremites de l'axe moyen.