CHAPITRE II. — ATTRACTION ET POTENTIEL

[/intersection se compose de deux courbes planes. L'ellipsoide detini par Tequation n'est une surface de niveau que pour ceux de ses points qui sonl interieurs au volume attirant {fig- n et 12).

Entin, si a1 = a, l'ellipsoide en question est bi tangent aux extremites du grand axe a l'ellipsoide attirant. Tous ses points sonl done exterieurs au volume attirant. Ge n'est plus une surface equipotentielle.

Vinsi, a la surface de Tellipsoide, le potentiel est maximum au sommet du petit axe et minimum au sommet du grand axe.

3" E llipso'ide de revolution. — Les formules se simplifient beaucoup. Supposons, par exemple, a — b, ellipsoide de revolution aplati aii tour de G;. Le potentiel interieur est

(25 ) V = -a-cp J ^

c2-hX2/ (a2-i-X) v/c2-hX

Les integrates ne sont plus elliptiques et Tintegration se fait par les methodes elementaires. On trouvera leurs expressions, pour rellipsoide aplati, dans le Tome HI, n° 603.

1 1 . Energie potentielle d'un systeme de corps attirants. —

1" Soit d'abord un systeme de masses attirantes isolees. Appelons />?,, />?2: • mn mki ••• ces masses, et r,A la distance des points mi et m^; on a r,7, = 77./. Designons par F,yc Taction mu tuelle de m, et mkj ou la force avec laquelle ces points agissent Tun sur l'autre ; on a

rtk

Gherchons la somme des travaux elementaires de ces forces pour un deplacement infiniment petit du systeme. Le travail de Taction mutuelle du couple de points m/m^et de l'ensemble de ces actions mutuelles est

r a dra = — / — - — drik , 2 %e = — / V — — dri/{ .

C'esl une diderentielle totale, comme il arrive toujours dans le cas

3o FIGURES D'EQUILIBRE D'UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

de forces centrales fonctions de la distance. Nous posons

Cctte fonction W s'appelle energie potentielle da systeme.

La signification physique de W est simple. Si les points passent d'une configuration initiale ra", mj, . . . , m% m", ... a la position actuclle envisagee, oii l'energie potentielle est W, le travail total des forces d'attraction pour passer de la configuration initiale, dont l cnergie potentielle est W0, a la configuration actuelle, est

Si niainlenant on considere une configuration initiale, telle que les distances des points mt , m2, . . . , mp, pris deux a deux, soient toutes infiniment grandes, W0 est nul et W represente le travail total des forces, quand les masses arrivent a la configuration actuelle a partir d'une position oil elles n'exercaient aucune action les unes sur les autres.

Nous allons transformer cette expression de W. On obtiendrait cette transformation en remarquant que W est une forme quadratique par rapport aux masses, et en appliquant le theoreme des fonctions homogenes

Ecrivons

1 I in* m-; m„\ 1 / m\ ms

YV = - m ,

— H h . . . H ) ~h - nu I —

W> rVi r,pJ 2 -\r.n

i 1 ni\ nu

H- - mL .

rn\ r,

p\ 'pi ' PlP—1)

nous avons bien Fexpression de W deja donnee, car

1 in* 1 nil m*m»

- m-\ — - H — nu — - ~ •

Soient U, le potentiel en m, du aux masses attirantes autres que n U2 le potentiel en m2 du aux masses attirantes autres que ni2- • on a

rT nu in-, in D U1 = — H -b . . . H £,

W = -(mj Ui -+- wo U, -h. . . H- Up) = -,S U