CHAPITRE II. — ATTRACTION ET POTENTIEL
2° Systeme conlinu de masses attir antes. — Soient T le volume d'un corps attirant et p la densite variable en chaque point de ce corps attirant. Considerons un element infiniment petit- dz de ce volume; en ce point, la densite est p et l'element de masse dm = p dr. Designons par V la valeur du potentiel en M, centre de gravite de l'element dz. Ce potentiel differe infiniment peu du potentiel en M du au corps dont on aurait retire l'element dm.. On a done pour l'energie totale
( 29) W = l- f V dm = iJ* p Ydx,
l'integrale etant etendue au volume attirant. On peut dire aussi que l'integrale est Etendue a tout l'espaee, puisque la densite est nulle en dehors du corps.
On a egalement en tout point de l'espaee, meme en dehors du corps,
(3o) A\ "= — 4 no, W=— 3^ f Y&Vdz;
mais on a, d'apres (i3),
lei, l'integrale est etendue a tout l'espaee. Les derivees premieres de V sont, a un facteur pres, les projections de la force attirante qui existe dans tout l'espaee.
On peut d'ailleurs ecrire, en introduisant cette force,
Galculons, par exemple, l'energie potentielle d'une sphere attirante de rayon a) nous mettrons en evidence les dimensions de l'energie. On a
W = - 0 I V d~, V = 2 Jt a- p — ^ ac /'2 p.
Puisque V ne depend que de on peut prendre pour element de volume le volume compris entre deux spheres concentriques de
rayons /• el r- dr ayant meme centre que la sphere considered
Ainsi l energie esl de dimension a par rapport a la densite. de dimension 5 par rapport aux longueurs.
On peut aussi calculerWen partant de repression en fonction de la force F. II faut alors decomposer l'integration en deux, carF n'a pas la meme expression analvtique a l'interieur et a lexterieur de la sphere
Le calcul de W peut au>si se faire dans le cas dun ellipsoide homogene pour un point interieur
/ V = -al>c?(K — A^- B v2— Cz-).
) W= -p f\dx
' = i rep' r/6c £k y eft — A I x- ch — B j y* d- — C j & d~ J .
Le coefficient de K. c'est le volume de l'ellipsoide ; les coefficients de A. B, C sont les moments d'inertie de rellipsoide suppose de densite i par rapport aux trois plans de coordonnees.
Energie relative de deux corps differents* on encore Energie mutuelle ou Energie potentielle reciproque. — Considerons deux corps T, et T2, a Tinterieur desquels la densite est respectivement o, et o2. Cherchons Tenergie totale de ce svsteme.
Soient V, le potentiel du au corps Ti et ^ a le potentiel du au corps To. Le potentiel total en un point quelconque sera
et l'energie totale
[ W = Wi+Wf + Wis.
