CHAPITRE II. — ATTRACTION ET POTENTIEL

menterais l'attraction en iransportant la masse m de M en M'. (G'est ici que le raisonnement n'est pas rigoureux; car, en transporlant celte masse M, on change aussi la direction de Px.)

Ainsi, pour qu'on ne puisse pas augmenter l'attraction par des deplacements de masses, il faut que toutes les composantes telles que Fx soient egales, c'est-a-dire qu'il faut avoir sur la surface libre

cosO r-

Le solide de plus grande attraction est done limite par une surface de revolution dont la meridienne a pour equation la relation ci-dessus. Pour obtenir la forme de la courbe, on peut faire K— i et Ton a

r2 = cos 0.

Gette courbe est exterieure au cercle rK — cos# et en difFere pen.

Fig. 14.

La direction de l'altraction est precisement l'axe de revolution pour le point A ou l'attraction est maximum (fig, i4)«

2° Maximum de potentiel. — On se donne p, P et T; il s'agit de disposer la masse attirante de telle sorte que le potentiel soil maximum en P. Or, on a

Si Ton diminue les distances / , V augmente. P ne peut pas etre exteVicur. Je dis que P doit etre a egale distance de tous les points de la surface. En effet, soient M et M' deux elements de meme

masse m situes sur La surface, /• et /' etant leurs distances a I* avec r< /•'. On augmentera la valeur du potentiel en P en transportant la masse m situee en M' a cote du point \\.

Ainsi le potentiel sera maximum quand on disposera la masse attirante suivant une sphere homogenc de centre P. Si T et p sont donnes, on en deduit le rayon a de la sphere et le potentiel maximum an moyen des formules

T = ^rca3, Y—2iza-p.

3° Maximum d'energie. — On se donne une masse homogenc de densite p, de volume T; il faut disposer la masse de fac^on que l'energie soit maximum.

a. II faut montrer d'abord que l'energie est limitee superieurement. Donnons au corps une forme quelconque, on a

f pVrfT.

( lonsiderons d'autre part la sphere de meme volume T et de rayon a ; on a vu que, dans ce cas, le potentiel a pour maximum celui de la sphere en son centre. On a done partout

Dans I'expression de l'energie, en remplacant V en chaque point par son maximum absolu, on aura une limite superieure de W :

W < za*-o* J ch, W < iza^^'V,

et, en remplacant le volume T par sa valeur actuelle,

O?) W < I jc a*p*\

Ainsi l'energie potentielle d'un corps quelconque de volume T, meme pour la sphere de meme volume, est inferieure a cette limite.

L'energie est Limitee superieurement. Elle a un maximum maximorum. A-t-elle un minimum? Non, ear en allongeant le