CHAPITRE II. — ATTRACTION ET POTENTIEL. 3j

corps indefiniment, on peut diminuer son energie autant qu'on le veut.

b. 11 j a un maximum maximorum et peut-etre des maxima relatifs. Quelles sont les formes telles que 1 'energie du corps passe par un maximum ?

Liapounoffa demonlre en Unite rigueur (voir Poincari':, Figures d'eqailibre d'une masse fluide, p. i5) que la sphere donne le maximum absolu d'energie. Mais on peut se demander s'il ne peut pas exister d'autres figures pour lesquelles W passe par un maximum relatif, ou s'il n'existe pas de figures pour lesquelles soit nul sans qu'il y ait maximum, car <5W = o est une condition necessaire et non suffisante du maximum. Ce sont la des reclier- ( lies interessantes a entre prendre. II est probable, toutefois, qu'il n'existe pas d'autres figures que la sphere ou l'energie soit maximum .

13. Attraction des surfaces. Simples couches. — Prenons une surface limitee S, fermee ou non. C'est une surface materielle d'epaisseur infiniment petite. Un element da- de la surface aura une masse dm. On appelle densite super ficielle /jl le rapport

dm drs

d'ou dm = a d~,

[j. est une fonction des coordonnees a, b, c de da parfaitement

Fig. i5.

determince en chaque point. Elle peut etre toutefois discontinue quand da traverse certaines lignes de la surface.

Le potentiel V est une fonction de x,y, z

V est fini et continu dans tout l'espace, meme quand on traverse

la surface. A I'infini, V devient nul de l'ordre de — • Mais lesderi-

vees sont discontinues quand on traverse la surface. En effet, designons par ne et fit les deux normales interieure et exterieure en un point A de la surface; on a, en prenant deux points infiniment voisins de part et d'autre de la surface S {fig. i5).

Mais le potentiel reste continu, car on a

Vb=Va+^AB, Yc-V -h^AC;

comme AB et AG sont iniiniment petits, VB et Cc different infiniment peu de VA.

Considerons, par exemple, une enveloppe spherique de densite constante. On a, pour le potentiel a l'exterieur et a l'intcrieur,

Vt=^, Y(= G.

Ces deux valeurs se raccordent a la surface, ce qui donne

C = 4 7C a jJL .

Prenons les derivees suivant la normale, on aura en un point de La surface, suivant qu'on se deplace vers l'interieur ou vers l'exterieur, les valeurs discontinues

dhi ~ ' dne ~ dr ~~ r*-

c'esl-a-dire pour r = n

Nous avons suppose Tepaisseur de la couche attirante rigoureu-