CHAPITRE til. — ELLIPSOIDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI. 4l

II j a une forme evidente d'equilibre : c'est la sphere. Dans ce cas, 1'attraction est normale a la surface en chaque point, etla surface est bien une surface equipotenlielle.

II est aise de faire le calcul. Supposons p0 = o. A 1'interieur, on ;i

= f^2 K a'2 — ~ tc r2J -+- G

a la surface la pression est nulle, ce qui permet de determiner la constante

o —/[^ina* p — ~ rca2p^ -f- C, d'ou £==*jc/p(-a* — r2).

p augmente quand r diminue et la pression est maximum au centre ou

( '\o) pc~ ^ Kfo*-aK

(hi peut se faire une idee de la pression enorme au centre de ia Terre, supposee immobile, liquide et homogene. On a pour la densile moyenne 5,5; pour le rayon terrestre mojen, 6366km; enfin, pour evaluer /, on peut considerer la Terre comme spherique et designant par g ^acceleration a la surface

d'ou

pc — - g a a = — qS 1x 5,5 x 6, 366 x i o8

r 2 ° 2 u cm2

, dynes

— i ,72 x io12 — =i,7 X ior> atm.

J cm2

La sphere est done une solution du probleme. N'y en a-t-il pas d'autres? C'est probable, mais cen'estpas rigoureusement demontit'. II faudrait pour cela demontrer qu'une masse homogene immobile, telle que la surface libre soit une surface equipotentielle, est necessairement une sphere.

Liapourioir a etudiele probleme a un autre point de vue. Considerons des forces appliquees a un systeme, et supposons que ces forces dependent d'une fonction de forces

(40 E(X 8r Y oy • Z 8s) = 8 U(.r,, yu zu x.,, yi} z2, . . .).

Les positions d'equilibre sont celles pour lesquelles la somme des iravaux des forces appliquees est nulle pour tout emplacement compatible avec les liaisons. Alors <5U = o. D'ailleurs, si dU = o, il n'y a pas necessairement equilibre, aulrement dit la condition n'est pas reciproque.

Dirichlet a montre que, pour qu'un equilibre soil stable, il suffit que U soit maximum dans cette position. Si oU = o sans que U M>it maximum, l'equilibre est instable, comme il resulte de travaui recents (t. II, n° 449, 3e edit.). Dans l'etude du probleme considere, les pressions sont des forces de liaison, et les seules forces a considerer sont les attractions. Ces forces d'attraction derivenl d'une fonction de forces

Pour trouver les positions d'equilibre, il faut encore 6U = o, done d\\ = o. Mais, comme on Pa vu, <5W peut etre nul sans que W soit maximum. La sphere est la figure qui correspond au maximum absolu d'energie ; e'est done a coup sur une figure d'equilibre stable. Mais il faudrait demontrer rigoureusement qu'il n'existepas de figures correspondant a des maximums relatifsde W , ni d'autres figures pour lesquelles dW = o, sans que W soit maximum. Pourtant, il est probable que la sphere est la seule figure donnant un maximum.

1 5. Masse homogene en mouvement conservant une forme invariable. — Nous supposerons que sur la surface exterieure s'exerce une pression constante. Nous avons vu que le centre de gravite ( i est anime d'un mouvement iectiligne et uniforme. Par rapport a des axes de directions fixes entraines par G, le mouvement est le meme que si G etait immobile. Nous pouvons done supposer G immobile.

Si la masse se meat en conservant une forme invariable, elle se meut a la fagon d'un corps solide. Ge sont les equations d'Euler qui regissent ce mouvement. Considerons les trois axes principaux d'inertie G^r, Gy, G-s attaches a la masse et entraines dans son mouvement. Soient A, B, G les moments d'inertie par rapport aux axes principaux. Soient la rotation instantanee, p, q , r ses pro-