CHAPITRE [II. — ELLIPSOIDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI
jections sur les axes mobiles, on a
dq
dt
I A ^ •+ (G— K)qr= L,
1 1, \l , N etant la somme des moments des forces exterieures par rapporl aux axes, ou la projection snr les axes du moment resultant des forces par rapport au centre de gravite. Mais ces forces exterieures, qui sont les pressions, se font equilibre, et les equations se reduisent a
dp dt
(C-B)grr
dq
\)pq = o.
Le mouvemenl de la masse est un mouvement a la Poinsot. Ge mouvement sera-t-il possible? Nous allons voir qu'il ne l'est pas, a moins qu'il ne se reduise a une simple rotation.
16. Conditions d'equilibre relatif. — Puisque la masse fluide conserve une forme invariable, elle est en equilibre relatif par rapport aux axes Gx, Gy, Gz. Nous pouvons supposer ces axes fixes a condition d'appliquer en chaque point une force egale et opposee
Fig. 1 6.
rrt \
i la force d'entrainement, qu'on designe sous le nom de force d'inertie d'entrainement {fig. 16).
Considerons alors un element de masse m. Soient w, e, \v les
composantes de sa vitesse; p, q, r les projections sur les axes mobiles de la rotation instantan^e, on a
ii = qz — ry, t> — rx — pz, w = py — qx.
II fan I calculer J0 dont les composantes sont
. du , dv
. dw
•'•= it
L'acceleration est, en effet, la vitesse absolue du point K, dont les coordonnees sont w, v. w, et K est obtenu en menant par G le vecteur equipollent an vecteur vitesse. On a done, en designant par un accent les derivees par rapport au temps,
J.r= qz— ,'y + q(py — qx) — r(rx-pz) — q z — r'y — x(q^-h r-) p(qy -+- rz).
En ajoutant et retranchant p2x, on obtient la formule plus reguliere
J e= q' z — r'y — .r(p--h q--\- r2) -+- p(px H- qy -+- rz),
et les formules analogues pour J7 et J^. La force d'inertie d'entrainement est le vecteur — mJ et les composantes de la force rapportee a l'unite de masse sont — Jx, — Jr, — J*.
Si l'equilibre existe par rapport aux axes Gx, Gyy Gz, il a lieu sous Taction des forces reelles et des forces fictives. Nous allons done ecrire dans ce systeme d'axes les equations fondamentales de l'Hydrodynamique, etnous verrons si ces equations sont possibles. On a
— [(q'z — r'y) dx -h {r x — p' z) dy -+- (p'y — q'x)dz] I (/>2 -4- q2-\- r2 ) dx -h y dy -+- z dz )
— (px -+- qy -+- rz)(p dx -h q dy -h r dz);
py q, sont des fonctions du temps. L'equation doit etre satisfaite a chaque instant / <;t il n'j a rien de contradictoire a supposer que les forces varient avec le temps. La densite p est supposee consfan (c : la conclusion serait la meme si p etait fonction de p.
