CHAP1TRE HI. — ELL1PS0IDES DE MACLAUR1N ET DE JACOB
L equation precedcnte cxprime que le second membre doit etre uue differenlielle tolale quand t est traite corame une constante. II faut et il suffit pour cela que le terme contenant p' , q\ r' soit une dilferenlielle lotale, car les autres le sont deja. La condition pour que cela soit est
. (tiz — /• y ) = — ( /• x -h p z) on — r—-\-r. r — o. Ov dx r '
On aurait de ineuie p = o et q'~ o. Vinsi p. (j. r sont constants. L cquilibre ne peut avoir lieu que si la rotntion est constante. L'ane de rotation est fixe par rapport aux axes mobiles; il est done fixe dans l'espace.
La rotation se fait autour d'un des axes principaux d'inertie. En effet, les equations du mouvement se reduisent a
(47) (C — B)qr=o, (\ — C)rp = o, {\$ — \)pq=o.
Si Tellipsoide d'inertie n'est pas de revolution, ou bien q — o et /• = o, et les trois Equations sont satisfaites: ou bien q — o et /'^oet la seconde equation exige alors p = o; ou encore r = o et qyi=. o, et Ton a p — o. Ainsi la rotation se reduit a une seule des composantes suivant l'un des axes.
Si rellipsoide d'inertie est de revolution, supposons A==B, l'axe de revolution est Gz ; alors, ou bien p = o et q = o, et 1'axe de rotation est G^; ou bien p et q ne sont pas tous deux nuls, et alors /• = o et l'axe de rotation est situe dans le plan des xy, et Ton sait que tout axe de ce plan est on axe principal d'inertie. En particulier, on pourrait prendre cet axe de rotation pour axe G.x.
17. Conditions de stabilite. II ne suffit pas quele mouvement soit possible, il faut qu'il soit stable. Pour un corps solide, il y a trois mouvements permanents possibles. Ges mouvements sont des rotations autour des axes principaux d'inertie. Le mouvement est stable quand la rotation a lieu autour du grand axe ou du petit axe. II est instable autour de l'axe nioven. Pour un (luide, Je mouvement autour de l'axe moyen sera instable a plus forte raison, car il s'introduit ici des conditions supplementaires, en plus de celles des corps solides.
Le sen I mouvement possible est done une rotation unijorme
autour (Vnn axe fixe, l'axe de rotation etant con fond u avec le grand on lc petit axe d'raertie.
Nous sommes done amenesau probleme particulier suivant, qui fera 1'objet de notre etude :
Considerons une masse fluide tournanta vitessc constante autour d'uu axe fixe Gz. Soient Gxu Gy, deux aulres axes fixes, et Gx, Gr des axes entraines dans le mouvement de rolation, et coincident avec les axes principaux d'inertie.
Ecrivons que le liquide est en equilibre relatif par rapport aux axes mobiles Gx, Gj\ (i:. Les composantes de la force centrifuge par unite de masse sont alors d)2^, ury et zero. L'equation d'equilibre s'ecrit
I dp =^(£ dx + % dy + % dz) + w2(* dx -^ydy^
et en integrant
Sur la surface libre, la pression est nulle ou constante, soit/>0 = C ; l'equation de la surface libre sera
11 faudra done chercher quelle forme on doit donner a la masse fluide pour que, V designant le potentiel du a cette masse, Ton ait cette relation a la surface en cbaque point, en supposant co donne.
Tkeoreme de Poincare. — La pression exterieure etant nulle, I'equilibre est impossible, quelle que soit la forme exterieure, si l'on a
e'est-a-dire, pour parler un langage vulgaire, si le corps tourne trop vite. En efFet, si le corps tourne de plus en plus vite, la force centrifuge peripberique finira par equilibrer Fattraction, puis par la depasser. Les elements superficiels tendraient alors a quitter la masse.
