CHAPITRE III. — ELLIPSOIDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI
Sur la surface /> = o, et comrae la pression est essentiellement positive a l'interieur, elle croit quand on s'eloigne de la surface,
vers l'interieur, c'est-a-dire qu'en tons ses points est positif.
L'equalion d'equilibre
dp = p dV, U U =/V -4- ^ (a?a-4- JK2),
donne
dp dU m drii ~~ 1 diii '
'y- est done positif en tons les points de la surface. Par consequent, ^ est negatif en lous les points de la surface, puisque U
est continu ainsi que ses derivees premieres. Appliquons alors le tlieoreme de Green au volume total et a la fonction U, on a
Le second membre est negatif; il faut done 2w2 — /\Tifp<^o.
dV . . ., , dU
autrement en certains points serait positii, par consequent
serait negatif et l'equilibre j serait impossible. Pour le rendre possible, il faudrait aj outer a l'exterieur une certaine pression.
Gette limite de Poincare a ete abaissee par GrudeliC), qui a reussi a demontrer, en supposant que la surface libre soit convexe, que Ton doit avoir
18. Ellipso'ides de Maclaurin. — JNous allons etudier maintenant les diverses formes d'equilibre; dans l'ordre historique, la premiere forme indiquee par Maclaurin est rellipsoide de revolution. On l'appelle souvent rellipsoide de Maclaurin.
Le potentiel de rellipsoide; de revolution pour l'interieur, celui
(') Readi Conli Acad, dei Lincei, 1910, p. 666.
qui nous interesse ici, est
Si rellipsoide est de revolution a = b, on aura
V = 7m2cp f 1 1 — X "r"'^ ^-T^l r//>
L'integrale elliptique so reduit alors a des integrales elementaires Les composantes de l'attraction sont
X=/^=P^ Y=/^=-Pr, Z=/£=-R«.
y dx J dy J1 J dz
Les coefficients P et R ayant les valeurs
dX
R = ik a
>cf?I
(«2H- X)2 sjc-^ X dX
L'equation d'equilibre relatif par rapport aux axes G#, (jy entraines dans le mouvement de rotation est
~ = — P(x dx -hy tfy) — R 2 <iz u>-(x dx -+-y dy).
La force qui agit sur l'element de masse-unite est, en effet,
— Pa? 4- io- x, — Py w-jk, — R 3. En integrant, on ;i
^i[(P oyO(^ + X2)+ R^2J-^G.
On obtient ainsi la pression a l'interieur de l'ellipsoide eta la surface, et les surfaces d'egale pression ont pour equation p = const., c'est-a-dire
(5?.) (P — to2)^*-*-^2) ■+■ Rz* = G.
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Ge sont des ellipsoides de revolution autourdu meme axe Gz.
Or, I'ellipsoide dont nous sommes partis est soumis a sa surface a une pression constante ou nulle. Pour que ce soit une surface d'equilibre, il fan t et il suffit que celte surface exterieure soit une surface d'egale pression. II fau t done qu'on puisse determiner la constante G de facon que I'ellipsoide d'egale pression se confonde avec I'ellipsoide d'equilibre. 11 suftit d'exprimer que les coefficients sont proportionnels, et 1'on a les conditions
( )n tirera G de ces equations et Ton en deduira l'equation de condition entre les axes et go. 11 faut montrer que cette equation de condition pent 6tre realisee.
i" Gette condition exige queVellipsoide soilaplati, e'est-a-dire (pie l'axe de rotation soit le plus petit axe, c > a. En effet, cette condition peut s'ecrire
a- P — c'1 R = a'1 co" > o
(X) (c2-hX)v/9(X).
X dl
La seconde integrate etant necessairement positive, on a — c2 > o ou f7 > c. Ainsi, I'ellipsoide estnecessairement aplati.
2° c etant la distance du centre an foyer, ~ est Yexcentricit4 c'- = a- — c2. Introduisons la quantite — — / analogue a
Nous allons chercher a exprimer Tequation de condition en fonction de /. Divisons-la d'abord par c2, elle s'ecrira
P et M dependent des axes ou plutdl du rapport des axes settlement,
fcPPILL. — IV 4
5o FIGURES D'EQUILIBRE D UNE MASSE LIQU1DE EN ROTATION.
car, (Jans l'equalion ci-dessus, ni &> ni / ne dependent dc l'unite de longueur, ni V ni R par consequent. Pour faire le calcul de P,
posons > — r-t :
Remplac.ons a2 par sa valeur ci-dessus en ionetion de c2 et de /'-. il vienl
P ne depend plus que du rapport des axes. II suffit maintenant de poser t-\-\=u- pour rendre l'expression rati onn ell e. On trouve
P = 2 */p -4^"" (arc 1 an8 ' - TTT* ) '
R = 2 nf p ~ ■ ( 2 ^ — 2 a rc tang/);
en portanl ces valours de P et R dans l'equalion de condition,
on a
(3 + /-) arc tang / — 3 /
C est la seule equation de condition, et, si elle est verifiee, nous pourrons toujours determiner la valeur de C qui correspond a la surface exterieiire.
Generalement, on se donne M et w ; est-il possible alors d'avoir corame figure d'equilibre un ellipsoids de revolution? L'equation (55) donnera les valeurs de / s'il j en a qui resolvent Ie probleme, puis on aura la valeur des axes par les formules
(56) M= ixa*cp= |jcpc3(n-#)= -*? .
Ces dernieres Equations donnent a et c, connaissant M et /.
19. Discussion. — Toute la difficulty du probleme est concentree sur la resolution del'equation transcendante (55).
Designons par h la valeur du second membre decette equation;
