CHAPITRE III. — ELLIPSOIDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI. it
pour / tres petit, on a
arc tang / I — - — I — ■ • • > It — — ll . . — e . . . , ° 3 5 1 5 1 5
on e designe I'aplatissement, delini par rapport a / et aux axes par
if-/2 — — = — = i -f- 2 e . . ■ , .
I 'our l—o, on a done // — o, puis, / croissant, h^>o.
Pour / infini, on a arc lang/ = ^; A est de l'ordre ~ et, par consequent, uul. Ainsi h est nul aux deux limites, et d'abord croissant.
Prenons la derivee de h par rapport a /, on obtient
dh o H- ... 7/2+q .
— TW=(l+p)(9-+p/-arcUn6/.
Le signe de ^ est le meme que celui de cp (/). Pour / tres pcti(, on a, en negligeant /7,
arc tang / = — — /5 .
La derivee est d'abord nulle, puis devient positive. Al'inlini, cp ( I) se reduit a — • ^ et la derivee est negative.
Prenons de nouveau la derivee de <p(/) par rapport a /, on a
Celte expression est d'abord positive, s'annule pour puis devient negative. L'expression <p(/), nulle pour l = o, sera • l iibord croissante jusqu'au maximum cp | (/) pour/=y/3, puistoujours decroissante pour />y/3, et tendra vers — Par consequent, aura une racine et une seule II en sera de dh
meme pour — •
1 di
D6signons par l0 cetie valeur de / qui annule et^; elle est definie par
arc tang / =
5a FIGURES D'EQUILIBRE D'UNE MASSE L1QUIDE EN ROTATION.
On trouve l0 = 2,53. . . , et la valour correspondante de h esi hQ = 0,224. Ainsi pour / < /„, on a ^ > o, la fonction e^l croissante; pour elle est decroissanle ; elle est maximum pour
Prenons deux axes O/et OA, et tracons la courbe representative
de h' = ((>(l) et de h = le second membre de (55) (fig. 17).
Fig. 17.
L'ordonnee de la courbe cp(/) part de O, a 1111 maximum pour / = y/3 , s'annule pour I = /() = 2 . 53 . . . , et tend ensuite vers — ^ •
La courbe h part de O tangente a O/, son ordonnee croit jusqu'a un maximum h = A0 — 0,224. . . pour / = /„, puis decroit en se rapprochant asymptotiquement de Faxe 01. Pour le trace de la courbe, on a pris pour les ordonndcs une unite 10 fois plus grande que pour les abscisses.
Celte courbe des valeurs de // elaut tracee, quand on se donnera o>, il suffira, pour trouver les valeurs de /, de mener parallelement
a O/ la droite CD d'ordonnee hK — ™ r ■ Les valeurs /1 et l2 de /
2 TCf p
correspondant aux points d'intersection C et 1) donneront les elements de rellipsoide d'equilibre.
En general, pour une valour de A, il y a deux valeurs de /, /1 et /.,. 11 y aura done, pour chaque valeur de co, deux ellipsoides d'equilibre.
Si ,27Zj-p < 0,224. • • ? *1 y a deux ellipsoides de Maclaurin.
