CHAPITRE III. — ELLIPS01DES DE MACLAURIN ET DE JACOB
Si ^jr^ = 0,224 • • • • il n'y a quun seal ellipsoide limite.
Si > 0,224. • • • le probleme n'a plus d 'ellipsoide de revolution comme solution. S'il y a des figures d'equilibre, il faut les chercher dans d'autres formes. Autrement dit, l'ellipsoide de Maclaurinne peut plus etre une forme d'equilibre si la vitesse de rolalion devient trop grande.
On peut se dcmander si les corps celestes, et en particulier la Terre, sont des ellipsoides de Maclaurin. On admet, d'ailleurs, que ce sont des ellipsoides de revolution.
Remarquons d'abord que, pour toutes les planetes, la racine /» . ne pent pas convenir. En effet, pour />2,53. , . , l'aplatissemenl est
el Ton sait que les aplalissements de la Terre et des planetes sont beaucoup plus petils. La racine l\ seulepeut done convenir.
G dculons done lK dans le cas de la Terre. Prenons pour unite de temps la seconde siderale et remplacons / par sa valeur d6ja trouvee (p. 40' 011 °btient
w2 / 2jt V2 '2a 4 ir.2 7t a 4 x 3, 1 4 X 4ooooooo nzf? ~ \ >4x6o'V 3^ ~ '242.6o^.3^ ~ 242 x 60* x 3 x 9,81 ~ °>00'227--
Apres avoir calcule cette valeur, on la porte dans l'equalion (55) et Ton prend la plus petite racine /. L'aplatissement correspondant
serait alors e — -^-- Cette valeur est certainement en disaccord 23 1
avec les observations geodesiques. L'aplatissement donne par
Helmert en 1901 est ^ et celui donne par Hayford en 1909 est
-^2 • L'aplatissement trouve est done trop grand. II faut en conclure
(jue si la Terre est un ellipsoide de revolution, etsielleaele fluide autrefois, elle nest pas homogene. On ales memes resultats pour les autres planetes.
Que se passe-t-il si o> tend vers zero? L'une des racines devienl nulle, l'ellipsoide se rapproche de la sphere; 1' autre grandit indefiniment.
Pour / ties petit, - est tres voisin de o. Done, pour / infiniment
petit, La figure d'equilibre se rapproche indefiniment de la sphere, qui est d'ailleurs La figure d'equilibre d'une masse immobile.
Si / est tres grand, c est tres pet i t el a est tres grand, d'apres les equations ( 56) (jui donnent
On a une figure d'equilibre qui est un ellipso'ide tres aplati, une sorte de disque de tres grand rayon et de tres foible epaisseur centrale. Gette figure disparaitrait pour &) nul et / infini, car la limite serait un plan indefini d'epaisseur nulle.
20. Ellipsoides de Jacobi. — Jacobi a reussi a demontrer que, parmi les figures d'equilibre possibles, se trouvent des ellipsoides a trois axes inegaux.
Les equations d'equilibre relatif par rapport a des axes entraines dans le mouvement sont, dans ce cas, les suivantes. On a d'abord, pourle potentiel interieur,
La force d'attraction a pour projections
X=/?r =.— P«, P = 2nfabcff*' — - ,
L'equation d'equilibre diflerentielle etintegree sera
— — — Px dx — Oy dy — \\z dz -f- oy^x dx ■+- y dy), £ =- j[-(P - to')** -f-(Q- + R ) -h C.
Les surfaces d'egale pression p = const, sont alors
(58) (P — u*)*' + (Q--ci>*)j*+R**=: c.
Ge sont des surfaces du second ordre, homothetiques et concentriques. Mais, sur la surface exterieure, la pression est constante
