CHAPITRE III. — ELLIPSOIDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI

ou Qulle. II fa 1 1 1 done que la surface libre soit une surface d'egale pression. Ses axes, a, 0, c seront done proportionnels a ceuxde Ja quadrique (58), d'ou

( 59) a"- ( P — w9 ) = 6* ( Q — w2 ) = c9 It .

Ge sont les conditions neeessaires el suftisantes du probleme. Com me dans le cas precedent, formons P expression qui donne go et l'expression independante de to; il \ient

I Go 1 to9 =z ei a9 62( P — Q) -+- c2;(a2— 62)K = 0.

Or.

p»p 62Q = 2 re/a />c 0 ^ ^qT>

■2 7C J'abc p ( «'2 — 62 ) /

done

Jq (a*-h X)(6*-+- X) i/©(X)

La seconde equation est homogene en P, Q, R; negligeons le faeteur commun 2itabcfp. on aura

= (" ~ "2)X " [(«' + Sfe X) ~ A J ^ =

Nous supposons a2 — 62 differents de o, aulrement on retomberait sur les ellipsoi'des de Maclaurin.

Ces deux equations se transformenl de la faeon suivante :

1" On prevoit que la premiere ne peut dependre que d u rapport des axes et non des axes eu\-memcs, puisque —^r n'en depend pas. Posons A — c-x, les limites reslent o el 00, et il \ienl

cKx d.r

abc I —

2~JP (a* -+- c-x) (b- -h c-x) \J((t- -h c-x) (b'1 -+■ c-x) (c- h- c-x)

Enfin, en divisant numerateur et denomimileur par d*b'\ et

56 FIGURES DliQUILIBRE D UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

posant — a == s, ^ — on obtient

(6l) —st I ■ s .., A = sx)(i -+- lx)(i ■+■ x).

' -A%fp JQ (l + SX)(l -+■ t.v)b

2° Dans le deuxieme, on pose de m£me X == c-x, et il vient

on

, v , " /* " .r r" x* dx

re,) (,-,- ojf ^r-^ tt"*

Les equations et (62) determinent s' et £ quand on se

donne w (on verra plus loin le cas ou Ton se donne le moment de rotation), et le probleme se ramene a la resolution de ces deux Equations transcendantes.

Ajant s et nous en deduirons les valours des axes au moyen des relations

c = a y/s = b \ft

el

(63 ) M = 5 jca&cp = £ Jcp-= = J*p — = .5 »p -7=-*

Remarque. — D'apres l'equation (62), on voit que s-W< 1. En effet, J et i etant positifs ainsi que les integrates, on a 1 — s — I > o. Alors .9 et £ doivent etre separement plus pe tits que I'unite, c'est-a-dire

Si0' &<'■

L'axe de rotation c est done le petit axe. L'ellipsoide tourne autour de son plus petit axe.

21. Discussion en prenant la vitesse de rotation et la densite comme parametres. — On se donne co, il s'agit de determiner s et t au moyen des equations (61) et (62). On pourrait proceder autrement, se donner 5 et t, puis chercher la valeur correspondanle