CHAPITRE III. — ELLIPSOIDES DE MACLAUR1N ET DE JACOBI. r
de w. On obtiendrait les mgmes resultats. On considere ici la density du liquide comme invariable.
Tout revient done a la discussion du systeme des deux equations. La discussion complete a ete faite pour la premiere fois par Otto Meyer (Journal de Matliematiques, t. XXIV). Elle est exposed par
Tisserand dans sa Mecanique celeste (t. II). On pose h =
et cette expression sera une fonction de s et de t, definie par (61). On designe la valeur du premier membre de (62) par <i». Alois / pourra etre regarde comme une fonction de s definie a son tour par la relation = o :
(bi ) h — y(s,t)=stl . — — — >
J0 (1-4- ^)(i+ tx)\
,x . . x . . rK x dx f"* x- dx
(6a') o = ty(s, o = (i — * — Ojf -^3 ** J —
Nous allons demontrer que l equation ^ = o a toujours une rat ine et une seule en s pour chaque valeur de t, et que l'expression h a toujours une valeur et une seule pour chaque valeur de / uii de s, avec un maximum pour s — t — t0. II y a dans chaque cas un seul ellipsoide de Jacobi comme figure d'equilibre.
Ges deux equations definissent unecourbe de l'espace au moyen des trois variables A, ^ et /. Un point J de la courbe est a la cote h et a pour projection sur le plan des s, t un point R. Le point R est sur la courbe (s, t) = o qui est la projection, sur le plan des s, de la courbe de l'espace It = 9(5, t)..
i° Etude de >b (s, t). — Nous avons designe le premier membre de (62) par ; nous allons voir que cette fonction de s et de t a une seule racine en s quand t est donne entre zero et 1. Posons avec Had an
s l = p et st = q,
dp = ds -+- dt et dq = t ds -J- s dt. On aura, en designant par Aet B les integrates figuranl dans y,
/^n • v » „ rKxdx D r^x-dx
(63) h-/>)A-ryB. A = jf — , B = J
Le d^nominateur A s'ecrit
A- = (i -h -+- sx)(i 4- /x) = (i-f- x)(i -^px ■+- qx2). En prenant la de>ivee partielle de <|s par rapport h, on a
Pour Bv , on a la ineine expression multipliee par x, sous le signe ^ . En combinaiit ces deux expressions, on obtient
»' 3 rK x2{i -\-x){i-^ix) . Ad,
(i— p)K — 9 = — ~ jf — " £F " —p — qx)dx =— \ , — B, *,
en posant
avec ['expression analogue pour B,. On a alors
ou
et l'expression analogue B + B, = B0.
Considerons maintenant l'expression suivante :
d x*(i-hx) x(i-*-x);, « dr = 2 As (4 + $x+px- iqx*- 3yg>).
On voil iriimediatement que celte expression, integree de zero a I'infini, est nulle aux deux limites. Nous designerons cetle integrale nulle par G :
Kormons alors l'expression suivante :
2 A0= 3 A o — C = - J — (i — p -h q.xi) ax ;
comme on a /> < i , on a egalement A0 > o. Cette valeur de A0
