CHAPITRE III. — ELLIPSOIDES DE MACLAUR1N ET DE JACOBI. 5t

donne

9 A0 -4- 3 B0 = | (3 ~/>)jT * — = |(3 -/>) D

On designe par D l'integrale qui est Loujours positive. Nous pouvons 6crire evidemment ty's sous la forme

Gomme on a £ < i , le second membre est toujour;* positif. On a done ty's < o. La fonclion est toujours decroissante par rap[>ort a s. Elle varie toujours dans le meme sens et ne peut avoir qu'une raeine quand s varie enlre ses limites, la valeur de t etant supposee donnee et constante. II en est de meme par rapport a t, si Ton fail varierf; on retrouveraitlcs memes expressions. L'equation (62), e'est-a-dire ^ = o, ne peut avoir qu'une solution en s quand / est donne.

Dans <\> faisons s — o et s ■ — 1 , on obtient

• / x C " x dx

(1 -b x)- (1 -+- lx)x dx

La premiere expression est positive, la seconde negative, done ^ s'annule une fois et une seule avec s. II en sera de meme par rapport a / si s est donne. I/expression (62) aura done toujours une racine et une seule en .5 pour chaque valeur de t et reciproquement. L'un des aplatissements etant determine, l'autre le sera egalement. II n'y aura chaque fois qu'un ellipsoide d'equilibre possible.

Si nous considerons maintenant s com me fonetion de t, fonction delinie par ['equation ^ = 0, on aura

dh ds O'b

com me

dt ds dt. dt

T- < o et £ <. o.

on a

ds dl

s et I varienl done toujours en sens inverse. De plus, leurs valeurs

6o FIGURES DEQUILIBRE D'UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

sont reciproques. Pour s = b an a t = i , et pour s = i ona t == o, et ainsi pour toutes les valeurs de s, puisque l'expression ^ est symetrique en s et t. A chaque couple de valeurs et correspond un autre couple s — lK et / — sx : ces deux couples definissent deux ellipsoides identiques, oii Ton a simplement permute les axes a et b.

Les deux valeurs de s et de t se croisent et deviennent egales pour une valeur interm^diaire que nous designerons par t0. On aura done

Les axes correspondants sont alors egaux et l'ellipsoide est de revolution. Gette valeur t0 se determine an moyen de l'equation (62), qui devient dans ce cas

r~xdx ., fm x*dx k / » \ /

{l — -2tQ) -— = ll / — -, b = (l-±-JoX) )fl + X.

•So 0

Gonstruisons maintenant la courbe ^ (s, t) — o dans le plan sOf

( jig. 18), en faisant les remarques suivantes : i° s et t sont essentiellement positifs ;

a0 ty(s, t) est symetrique par rapport a s et t\ la courbe est symetrique par rapport a la bissectrice OS de sOl]

3° Si 5 = 0, on a t = 1 , car le coefficient de Pintegrale positive de 'I — o se reduit a 1 — t = o, point B ;