CHAPITRE III. — ELLIPSOIDES DE MACLAUR1N ET DE JACOBI. 6t

4" Si s augmente, t diminue et pour s = i on a de menie t = o, point V. La courbe est meme constamment au-dessous de la droite AB, puisque 1'on a s -f- t < i ;

V Enfin, etant donnee une valeur s, de.v, comprise entre o et i . il v a toujours une valeur tK de t et une seule qui y correspond; autrement dit, PR, parallele a OB, rencontre la courbe en un [>oint R et en un seul.

Les coordonnees tlu point C situe sur la bissectrice sont celles donnees par la relation s = t — tQ = o,33g(), que nous calculerons tout a l'heure.

2n Etude de h = w(s, t). — Nous considerons maintenant t comme defini par la relation ty(s, f) = o. Nous avons, en tenant compte des valours de et <\>'( , de dp et de dq,

— d'l = — 'b's ds — Yt dl = A-o dp -t- B0 dq = o. I ntroduisons 1'expression

r = (s — t)"2 = p- — 4 1 , 2 p dp = dr -+- 4 ,

expression toujours positive, qui s'annule pour s = t — tQ et qui varie de o a i. Nous pourrons considerer/* comme fonction de r et de qy et q comme fonction de r definie par = o. On a, en remp la cant dp par sa valeur en fonction de dr,

— >p d<l> = A o dr -h ( 4 A 0 -f- -ip B0 ) dq .

Si nous formons maintenant 1'expression suivante, en introduisant C = o, on obtienl

4 A0-h >pB0= 4 A0-h •>•/> Bo— 2G = (3 — p)B,

ou B est une integrate toujours positive, definie plus haut. On a alors pour d I

— j.p d'b = A0 dr -+- (3 — p)B dq == o.

( iette expression defini t la variation de ^ par rapport a r5 d'apres

6a). On a done toujours ~ < o; car, A0 et B etant positifs, on

doit avoir dr el r/y de signes contraires.

Considerons maintenant 1'expression ( 6 1 ) , qui donne li en fonc-

lion de s et / on en fonclion de r et q. Nous allons demontrer qu'elle varie toujours dans le meme sens avec r etqu'elle est maximum pour /• = o, cYst-a-dire s = t — t(). On pent l'ecrire

h = si f ' ^VT ^ dx = q{A + B),

on, d'apres (62),

h = (i—p-hq)A = (i — s){i — l)J -~

( )n a done

dh = ( — dp -(- dq ) A -h ( 1 — p ~h q) ( \ 's ds -+- A'( dt ).

Les valeurs Irouvees plus haut pour A, et A) donnenl immediatement

* / 1 4/7 3 rx x*(i ■+- x) , . • ■

A ; ds -f- A ,dt — - I — ^— i ( dp # ),

dh^(—dp \~dcj)J — l^—p + q) j C'^^X)(dp^ xdq).

Faisons apparaitre le denominateur A5 dans la premiere integrate, remplacons dp par sa valeur en fonction de dr, et tenons compte de l'expression G = o; on obtient finalement

— 4 p dh = 3 D ( q dr — r dq) — p B dq

oil

( >n a done toujours ^? < o, puisque ~ < o.

D'autre part, l'expression de rfvp donne, si 1'on j fait s — / .

— oty == ( A 0 -+- s Bo ) d/>, ea r = s dp.

On aura done a la fois, pour 5 = t ou r = o.

dp — dq — dr = dh = o,

Ainsi, h varie toujours en sens inverse de r — (s — t)2 et s'annule pour r = o. Done k croit pour s allant de 1 a t = t0i decroit pour 5 allant de t0 a o et est maximum pour s — £ = £0- D'ailleurs, en remplagant par sa valeur en fonction de ds