CHAPITRE III. — ELLIPSOIDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI

De la formule (56), qui donne le rayon equatorial a en i'onction de / et de 1 ; * masse M, tirons la valeur de a, la formule (55) donnant / en tonclion de co deviendra

jQjxi /4^P\;| 7,N|r(3H- /-jan; tang/—

^ TfW\m) =«if g J

A- = 4 A(iH- Z2)3.

Dans celte equation, le premier membre esl donne ; nous le designons par k et nous construisons la courbe A — ©(/).

Pour / = o, la courbe a la m&me allure que la courbe h precedent e. Pour les grandes valeurs de /, au contraire, la valeur du t

terme principal est /:i, de sorte que A augmente indefiniment avec /

sans passer par un maximum. D'ailleurs j tend vers zero et la

courbe prend une allure parabolique pour / ires grand, avec la concavite tournee vers 01.

Pour achever l'etude de cetle courbe, on prend la derivee

m$*iw*T -,.A>*+svfp

arc tang/ + 9^ ^ \2^-4- 3 ~ aFC tang7J

Le dernier facteur s'annule pour /=o et sa derivee est toujours positive. Ge terme est done toujours croissant et, par consequent,

dk

positif. II en est de meme de la derivee -jj et l'ordonnee de la

courbe A- = ?(/) est constamment croissante. On peut encore 6crire

et pour / — o, on a

h = h' = o, cTou k' = o.

La courbe est tangenle a l'axe / a l'origine.

II est, des lors, facile d'achever la discussion du probleme. On se donne u. el Ton en dednii k. A chaque valeur de/r corresponds une valeur et une seule de /, un seul ellipsoide d'equilibre. 11 n'v a done pas de position d'equilibre limite, mais il y a toujours un

ellipsoide d'equilibre, quelles que soient les condilions initiales. Si k est, tres petii, on aura des formes tres voisines de la sphere.

Pour la valeur limite de oj dans la discussion precedente, ou Ton avait l0 = 2,53 et h0 = 0,224, on a ici /,„ = 3.4°. On obtient P ellipsoide E0, qui n'est plus un ellipsoide limite mais un ellipsoide quelconque, en considerant le moment de rotation comme parametre.

Mais l'expression k se compose de deux quantites qui peuvent £tre considerees separement comme variables : le moment de rotation p. et la densite p. Si on laisse p constant, k represente la variation par rapport a ,u. Si on laisse \x constant, /, represente la variation par rapport a p.

Si nous considerons d'abord la densite comme constante el que l'on fasse croitre progressivement le moment de rotation, en communiquant a l'ensemble une energie exterieure, alors /. croit indefiniment. Le point figuratif s'eloigne indefiniment sur l;i courbe. Par consequent, / et l'aplatissement augmentent constamment. L'aplatissement augmente meme de plus en plus vite, a cause de l'allure parabolique de la courbe. A partir de E0 le moment d'inertie I, qui resulte de cet aplatissement, augmente plus vite que le moment de rotation ,u — Iw, dont depend la valeur de k. Alor.doit diminuer a partir de cet ellipsoide E0, comme on l a vu dans la premiere discussion.

Considerons au contraire la densite comme variable et le moment de rotation comme constant. G'est le cas de la nature ou un astre se refroidit et se contracle, en conservant la m£me quantite de mouvement, cette contraction ne faisant intervenir que les forces interieures. Au debut, l'astre est tres dilate, p est tres petit, X et / egalement. La masse est Ires peu aplatie. On voit que A et /. et par consequent l'aplatissement, augmenteront indefiniment avec p. Mais dans la contraction, la densite tend vers une limite, celle du corps a o° (temperature absolue), et la masse tendra vers une forme ellipsoidale limite E,.

Remplagons, dans la formule (67), / en fonction de S] comme dans la discussion precedente, on a

j \ ^ 4 (i-f-25) arc tang / — 3 y s i i — s |

point S. Quand s decroit, k croit constamment et Fordonnee de la courbe croit asvmptotiquement a l'axe vertical.

Ellipsoides de Jacobi. — On a, dans ce cas,

M ~ . Mc-2 /i i\ Mc'- s -+- 1

'> 5 \s £ / 5 st

a- 25 u2 / st \ '2

" = F = WI.T7 J • En exprimant c en fonction de 5 et t d'apres (63), on obtient

(o- Sou2 / (s2)3

.-/v = 3J5P m ) (hhf = ^ ') = ft-

En j epresentant par / la meme expression que ci-dessus, on a tinalement les deux equations de conditions, oii <\>(s,t) a la meme valuur que precedemment, et qui determinent s et t en fonction de / :

(st)$

Ces equations (69) remplacent les equations (61') et (62') du numero precedent .

74 figures d'equilibre d'une masse liquide en rotation.

Discussion. — /j. etant doiml, k est donne. Combien y a-t-il de solutions repondant a une valeur de /?

Cette discussion est analogue a celle du numero precedent. La fonction ^, qui est independante de w et de p, reste la m£me. Elle determine tonjours une valeur et une seule de s pour chaque valeur de t. La courbe representative, projection sur le plan sOt de la courbe de l'espace, reste la meme.

Nous pouvons ecrire la relation (69) entre h et k. d'apres les notations de Piadau, sous la forme

on obtient

q 3 dk — > ph dp — ~ p2 ~ dq ■+- p- dh.

En remplagant dp et dh par leurs valeurs obtenues dans la discussion precedente, il vient

Les termes A0, A, B sont positifs et l'on a demontre

dq . dk

~ < o, done -=- > o.

dr dr

dk a le signe contraire de dh. Ainsi k variera en sens inverse de h par rapport a r, et par consequent par rapport a s et t.

On a, de meme que dans la premiere discussion pour s = t = t0

et /• = o,

dp = dq = dr = dh = dk = o.

La fonction k est done toujours croissante avec r~(s — t)'-, et dk s'annule pour r = o. Done k croit toujours pour s variant a partir de s = t = t0 vers o on i . Elle est minimum pour

D'ailleurs, en remplacant dr en fonction de ds et dt, on aurait

dk , / dl \ dk dt

ds = '{'-s)[ds-,)d?' ds<0'

k est decroissant pour s</> croissant pour s > s, et minimum pour s = t=t(). 11 n'a qu'une valeur correspondant a chaque