CHAPITRE III. — ELL1PS0IDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI. j

couple de valeurs de s et /. La valeur correspondant au minimum k0 est

Enlin, pour s = o 011 i = o, on a /c = 00. La fonction croit indeliuiment avec

x dx

j 1 f~ x dx

La courbe qui iraduit cette variation est representee figure 22. On conslruit d'abord la courbe plane (s, t) = o, qui reste la meme, puisque cette expression est independante de w, courbe ACB. Puis on construit Ja courbe A'EB' qui represente les varia- 1 i ; >ns de k en fonction de s et t. On etudie la variation de k quand K va de A en B. Nous remarquons d'abord que k est symetrique par rapport a s et t. Done A OS est un plan de sym6trie.

En A on a s = 1 et t = o, done k est infini. La branche de courbe est asymptote a la parallele a Ok menee par A. Quand t

croil jusqu'a la valour t = s = 0,339, alors ^ reste coustamment

negatif et k decroit constamment jusqu'a t = t0. Pour cette valeur, on a /. = EC = 1,537. ^ J a> en general, une seule solution. Les deux points ou le plan horizontal de cote k coupe la courbe gauche donnent deux ellipsoides identiques.

Si / >- 1,537, 1 ellipsoide de Jacobi.

Si k — 1,537, 1 ellipsoVde de Jacobi limite et de revolution. Si k < 1 ,537, plus d'ellipsoide de Jacobi.

Le point E, est pour l'ensemble des ellipsoides de Jacobi, une position d'equilibre limite, mais par rapport a l'ensemble des ellipsoides d'equilibre, e'est une position de bifurcation.

Si I on fait croitre le moment p., ou la densite p, le point figuratif partant de S va suivre la courbe des ellipsoides de Maclaurin et remonter jusqu'en E. On voit comment le point E appartient aux deux series lineaires dellipsoides et represente une figure d'equilibre de bifurcation. Ainsi done, si l'on cherche les ellipsoides d'equilibre infiniment voisins de E et repondant a de petites variations de a), on trouve soit des ellipsoides de Maclaurin, soit des ellipsoides de Jacobi. Pour une valeur de p, ou de p, plus grande

que celle qui correspond a E, on aura deux figures ellipsoidales d'equilibre possibles, Tune de revolution, l' autre a trois axes.

II faut retenir de l'ensemble de cette discussion que si Von se donne le moment de rotation, il y a toujours une figure ellipsoidale d 'equilibre possible, on deux au plus.

Ges resultats classiques ont 6te longtemps les seuls resultats conuus. Comme on l'a vu, Tait et Thomson ont bien donne quelques indications nouvelles, mais il faut arriver a Poincare pour trouver de nouveaux resultats et de nouvelles figures d'equilibre.

23 bis. Discussion en considerant le moment de rotation comme constant et le grand axe comme variable. — Dans la discussion precedente, l'expression k contient le moment de rotation \j. et la densite p. Or, on doit faire varier p de o a l'infini pour obtenir tout le champ de la variation. II serait plus interessant d avoir la variation du grand axe de l'ellipsoide dans la contraction. Nous allons voir qu'il tend vers une valeur finie (A. Veronnet. Comptcs rendus,l. 169, p. 32<S, el Journal de Mathematiques, 1919).

Pour les maclaurins on a, d'apres la formule (56),

d'ou, en substituant dans (67),

(3 l2) arc tans; / — -i I

C'est cette expression g • == l\h \J \ -\- i2 que nous allons considerer a la place de k.

Pour / - - o, on a g = o comme h = o et pour Z = oc, on a g — 2 7T. En prenant la derivee par rapport a /, on obtient

= , ( ^Z — arc tang/).

Cette expression est toujours positive et g est toujours croissant de o a 27r, quand / croit de o a 00. En effet, pour I ~ o, l'expres-

sion entre crochets tend vers -^r lh en negligeant l~ et sa derivee