CHAPITRE III. — ELLIPSOIDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI
Ves de 700 fois plus petit. Notre globe serait reduit a un disque de 9k,",4 de rajon avec densite infinie. ( )n a, d'ailleurs,
a = I co = - M a- co = const.
La vitesse de rotation varierait en raison inverse de a1. Elle serait 462000 fois plus grande qu'actuellement. Le disque ferait 5,35 tours par seconde.
On a pour ^attraction dans le plan equatorial , a la distance r ou ! 'attraction est F (elle est proportionnelle a r comme la force centrifuge elle-meme),
7 = 2 71 f? — \*rc tan^ - rTTi ) '
et, d'ailleurs, on a
co- (3 -I- I2) arc tang I — 3 /
Le rapport de la force centrifuge a I1 attraction dans le plan equatorial est done
co-/- (3 -+- /-) arc tang I — 3/ 2(1 — arc tang/)
F " (1+ 1-) arc tang I — / ~~ (i-f- 1'2) arc tang / — I
Le dernier terme est egal a 1 pour I — o, cas de la sphere. II est egal a o pour I = 00, cas du disque aplati. 11 est toujours decroissant. La force centrifuge est done toujours plus petite que l'attraclion dans un ellipsoide homogene de revolution en equilibre. [11 on est de meme, d'ailleurs, pour un ellipsoide heterogene. Voir A. Vet.onnet, Rotation de V elliosoide heterogene et figure exacte de la Terre (Jo urn. de Math., 191 2, p. 078).]
Ainsi, la force centrifuge tend a equilibrer l'attraction a l'equateur a mesure que l'ellipsoide s'aplatit. II j aurait equilibre entre ces deux forces a lalimite, quand on a un disque aplati. Les mole cules, a la surface et a l'intcrieur n'exercent plus aucune pression les unes sur les autres.
Pour les ellipsoides de Jacob i a trois axes, on obtient demenir
-So FIGURES D'EQUILIBRE D UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.
la formule suivante en remplacant, dans k, p en fonction de a
On ne peut pas demontrer que cette expression, a parti r de Sq -t0, est toujours decroissante conime h ou toujours croissante comme k. Les calculs numeriques montrent que cette expression est d'abord decroissante, passe par un minimum, puis redevieni
croissante.
Elle tend logarithmiquement vers l'infini quand s tend vers o. En eflet, dans Fexpression de g faisons s — o et t = i , on a
- I )- r x x(i ■+- x)d.r f" x dx
expression qui donne immediatement une valeur infinie pour g.
Comme g augmente indefiniment, le grand axe «, qui varie en raison inverse de g, tendra vers o. L'ellipsoide de Jacobi ne tendra pas vers une figure limite. II prendra la forme d'un ellipsoidc de plus en plus allonge, mais de dimensions indefiniment decroissantes.
On peut obtenir dtj g une expression approchee pour s tres petit. En faisant t == i et conservant s, on a
Posons
dx
TV- i
d'ou x = —
On peut ecrire, a un terme tres petit en s pres,
sir2 P ' 1 — ~ — 7 ~ c*
On obtient
