CHAPITRE III. — ELLIPSOIDES DE MACLAURIN ET DE JACOBI. 8l

:n faisant dans les calculs de la valeur aux limiles,

I sj s = \/i — s = i — - s . . . .

/attraction a rexlremite du grand axe «, dans un ellipsoide a trow axes, est donnee an n° 20. Si Ton fait dans cette formule / c-x et que Ton inlroduise set t, comrae il est indique pouro)2, on obtient

En faisant iei t = i et la meme transformation de s2 pour s tres petit, on obtient

On a bien encore ici a la limite

to"2 a

C'est-a-dire qu'il y a egalite entre la force centrifuge et l'attrao tion.

G.-H. Darwin a calcule la valeur de h correspondanl aux ellipsoides de Jacobi pour differentes valeurs de s. On peut en deduire relies de g et de «, puis de b et de c. Ces valeurs sont indiquees dans le tableau suivant :

8 . . . . o j 34o o , 296 0 . 2 5o 0,178 0,117 0 > °66 o , o3o o , 008 o 0,340 o,384 0,438 o,536 0,640 0,748 o,853 o,o,n 1 p. . . . 1 , 00 1 , ofi 1,21 2 , 04 4 3 73 16 , 2 88 ,5 1 370 00

La figure 24 donne La courbe des g avec s comnie abscisse. C'est la projection sur le plan gOs de la courbe de l'espace. Les valeurs de s pour s >> t0 sont les m ernes que celle du tableau. La courbe SJM est celle des Maclaurin, limitec en i\I pour £- = 2?:. La

AfPi:i.i . — iv. 6

courbe des Jacobi, a partir du point de bifurcation J, decroit jusqu'a un minimum g{ cn mt, et m\ , puis croit indefiniment .

Fig. ■>'{.

Si Ton a 27r5 Par exemple le point B,. la parallele

a OS rencontre la courbe des Maclaurin en M,, ce qui determine 1'ellipsoide do revolution qui est figure d'equilibre. Elle rencontre egalement la courbe des Jacobi en deux points J, et J', qui d£terminent les deux aplatissements

Sl = OPi et /i=OP',

de l'-ellipsoide de Jacobi qui est egalement figure d'equilibre.

Si Ton a g> 271, il y a toujours un Jacobi comme figure d'equilibre, il n'y a plus de Maclaurin. Si g<g<, il J a un Maclaurin et plus de Jacobi.

Enfin, si Ton a g\< g < go, la courbe des Jacobi est rencontree en quatre points. 11 y a deux ellipsoides de Jacobi et un do Maclaurin comme figure d'equilibre.

La figure 2 3 donne les courbes representatives des axes des Maclaurin en traits forts ot des trois axes de Jacobi en traits fins, a partir du point de bifurcation JJ'. Les valeurs de s sont en ordonnees, celles des axes on abscisses. Le grand axe a', 6' du Maclaurin decroit jusqu'a une valeur limite A'(), celle du disque. Tous les aulres tendent vers O. Au point J, le grand axe des