CALCULS ET RESULTATS PRELIMINAIRES

24. Choix d'unites de Poincare. — Pour simplifier, Poiocare fait dans ses Memoires f =;i et p '= i . II faut etudier d'un peii plus pres Je choix d'unites auquel ces simplifications correspondent. Nous allons voir que cela revient a faire choix d'un systeme particulier d'unites oii l'unite de longueur reste arhitraire et ou l'unite de masse est fonction de l'unite de longueur.

Gherchons d'abord les dimensions de /. On a

J r2 mm'

Faisons un changement d'unites en prenant une unite de longueur a fois plus petite, une unit6 de temps r fois plus petite, une unite de masse y. fois plus petite- Designons par l'indice i les nouvelles valeurs des quantites considerees, on a (la force etant le produit d'une masse par une acceleration)

/// , = {j. m, f'i = X r, Fj — F

Le nouveau coefficient detraction sera lie a l'ancien par la relation

v Xjx )r-r- F r* X3 I3 x- n~mm' mm' jxx2 J (jlx2

Prenons maintenant une unite de longueur arbitraire, une unite de masse constitute par le cube unite forme du liquide homogene considere. On aura bien alors p=i, puisque la masse de l'unite de volume est i . II y a entre A et p une relation evidente dans ce

CHAP. IV. — FONCTIONS DIVERSES. CALCULS ET RESULTATS PRELIM IN AIRES. 87

< as. Si 1' unite de longueur devient A fois plus petite, 1'unite de masse devient X;) fois plus petite, done |jl = >.:1 et il vient

Prenons encore Line unite de temps defmie comme Ta fait M. Lippmann (Comptes rendus, 8 mai 1899). Quand on prend

pour unite de temps la seconde, on a/= '86->° * ^vec ^es nJP°~ tlieses precedentes, en faisant maintenant un changement d'unite de temps, on trouve f= V Pour que / devienne egal a i,

il suffit que r soit 3862 fois plus petit 011 que la nouvelle unite soit 3862 fois plus grande, e'est-a-dire egale a 3862s == ih /\m 22s, valeur tres voisine de l'heure. Lippmann appelle cette nouvelle unite de temps Yheure naturelle. Elle est independante de la rotation de la Terre et de sa variation possible. Elle est aussi constante que la constante meme de l'attraction et peut se determiner par des experiences purement physiques.

Dans ce systeme d unites, on aura pour les dimensions du moment dinertie, du potentiel et de Fenergie, par rapport a 1' unite de longueur qui reste seule arbitraire,

' \h = fo f* ch = }J I, V, = = X2 Vj

Co) I J r J r

25. Equations fonctionnelles. — On a cherche, de di verses manieres, a former des equations fonctionnelles pour le probleme qui nous occupe.

Nous supposons p — 1 elf — 1 . La masse donnee tpurne autour de Oc, les axes Ox et Oy sont entraines dans la rotation. L'equation differentielle du probleme et son integrale sont

dp = dX — o)-(x dx -\- y dy), p — p{) = V -+- -h y- ) -+- K;

pQ est la pression a la surface libre. Elle est constante ou nulle. Posons

\ 1 interieur du corps, puis a la surface, nous avons

88 figures d'equilibre d'une masse liquide en rotation.

Cette fonction o(x, y, z) peut (Hre prolongee analytiquement a l'extericur du volume. II suffit pour cela de prolonger a Pexterieur la fonction V, qui represente le potentiel, en conservant la continuity de ses derivees secondes. Mais il est evident alors que cette fonction prolongee ne representera plus le potentiel a I'exterieur. Par exemple, le potentiel en un point interieur de la sphere de rayon a est

V = -ax a'1 — 3tH'.

Cette fonction reste parfaitement determinee, meme quand on suppose r>a; c'est ce que nous appelons le pro long erne nt de la fonction inter ieure. Pour r>a, elle ne representera plus le potentiel.

La fonction cp(#, y, z) est d6finie partout et, a cause de la continuity elle est negative a l'exterieur. Liquation

, x r r r da db dc

^(•^-HJ2) + K7

l'integrale etant etendue a tout le domaine oii 9 (a, 6, c) est positif ou nul, est une equation fonctionnelle. Elle est assez compliquee, car la fonction <p qu'elle determine figure explicitement dans 1'equation et entre dc plus dans les limites d'integration. La valeur de la constante K se determine apres coup, en ecrivant que le volume est donne.

On peut, en emplojant un artifice dii a Lejeune-Uirichlet (Journal de Mathematiques, t. VI), trouver une nouvelle equation fonctionnelle, dans laquelle 9 figure explicitement sous les signes d'integration, avec des limites d'integration constantes.

On considere pour cela des integrates deTinies qui dependent d'un parametre et qui jouissent de la propriete suivante. Soit

I(w) = j f{u, l)dl.

Si u > o, on a 1 = 1 ; et si m < o, on a I = o. On peut en former par les proced^s elementaires, et, dans son Memoire, Dirichlet cn