CHAP. IV. — FONCTIONS D1VERSES. CALCULS ET RESULTATS PRELIMINAIRES
indique plusieurs formes. On a, par exemple,
1 r- snuia =
uivant que u >► o ou u < o. Pour former alors une intlgrale telle [lie \(u)i il suflit de prendre
t/ s 1 r+T / smut sin A
dt.
Si // > o, les deux termes de l'integrale sont egaux a 7i et l(u) =. i . Si u <i o, le premier terme est egal a — i et le second a + i ; on a I(ti)==o.
L introduction des integrales de ce genre permet d'ecrire 1'equation fonctionnelle precedente sous la forme
f[?(a, b, c). t] da db dc dt y (.x — a)* (y — by- -h (z — c)*
Lts deux equations sont bien identiques, comme il est facile de le voir, en commencant l'integration par rapport a t. C'est seulemenl pour le domaine ou <p(a, b c)>o que l'integrale n'est pas nulle.
Ainsi, la fonction cp figure explicitement sous le signe somme et les limites d'integration sont devenues constantes. ^eanmoins, 1'equation fonctionnelle ainsi obtenue est encore tres compliquee, me* me avec les formes les plus simples de f.
En ecrivant ensuite <p(#,y, z) = o} on aura 1'equation de la surface libre.
26. Equations integro-differentielles. — On a aussi cherche dans une autre voie en essajant de former des equations ou ligurent le signe somme et les signes de differentiation. Pour arriver a ces equations, nous allons donner une expression remar- <{uable du potentiel due a Gauss.
Soienl a, c l'element attirant M et P(x,y, z) un point fixe
interieur a la masse atlirante (Jig- 26). Le potentiel en P est
da db dc
-fffW'fffTsm
Fig. 26.
Considerons le vecteur dont les composantes sont
Sa divergence esl egale a - ; en effet, on a
dk 1 (a — x)-
da
dA dB 3 1 i i
fia ^6 cJc 2 /• 2 /•
Comme P est interieur a T, le vecteur A, B, G, n'est plus defini au point P lui-meme, car sa grandeur et sa direction deviennent ind6terminees. Entourons alors le point P d'une petite sphere de centre P. Soient t son volume et s sa surface. Appliquons maintenant la formule de (ireen au volume T — t compris entre S et s\ on a
on
J J JT t r J Js + S ir
Gonsiderons la derniere integrale appliquee seulement a la sphere s. Soit r le rajon de cette sphere, soit da Telement de surface de la sphere de rayon 1 et de centre P qui correspond a da; on a da = r2 <Yo), et l'int^grale devient
[ y.{a — r) -+- $(b —7) -:- y(c — z) \ do>.
