CHAP. IV. — FONCTIONS DIVERSES. CALCULS ET RESULTATS PRELIMINAIRES

Elle tend vers zero avec r, car l'element differentiel reste fini. D'autre part, le premier membre de l'equation ci-dessus tend vers le potentiel V quand t tend vers zero. On a done

( )n peut donner facilemeni une interpretation geometrique de la quantity placee sous le signe somme. En effet, a, (3, y sont les cosinus direcleurs de la normale exterieure AN a l'element d<j. Les valeurs 2 A, 2B, 2C sonl les cosinus directeurs de la direc-

tion PM. En appelant ni Tangle de ces deux directions, on a done

. ac(g — aQ + — y)-j- y(c— -) t r r

cos( /•/*)= — — ; — j \ =z - J j cos (rn) aa.

Supposons maintenant que la surface soit celle de notre fluide en equilibre relatif; l'equation de cette surface est

p—po = V + - y*) + K, V-h - (^2-+-jk2) = G.

Prenons notre point P sur la surface libre. el remplac^ons V par sa valeur trouvee ci-dessus ; il vient

(77) - f f*{a-x)^'{b-y)^^c-^d«+^(^^ = c.. 2JJS s/(a-xy+.{b-yy+{c-zy- *

("est la une equation fonclionnelle ou entrent sousle signe somme la (onclion inconnue et ses derivees partielles du premier ordre, e'est-a-dire une equation integro-differentielle. Prenons, par exemple, z = f(x, y) pour l'equation. de la surface libre. On a C=f(a, 6), 011 /represenle la me me fonction. Les derivees partielles de z par rapport a x et y, soient p et q} figurent dans les expressions de a, (3, y et rh. Mais 011 obtiendrait ainsi une equation qui ne serail pas symetrique. Pour rendre les calculs symetriques. exprimons les coordonnees de la surface au mojen de deux parametres; on aura

»(X, fi),

<p FIGURES D'EQUILIBRE D'UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

En posant

db dc db dc ~ dX d\x d\x Oa

on aura

dc da da dc da db

<tt 5ji dX dp '

db da

<fo = y/P^-h Q2-H R2 rfX d\x, [ ;a(a .r ) + p r) h- Y (C s)] dz = [ P (a — x) -+- Q (6 — j) -+- R(o — s) J d\ d<>

d'ou l'equation definitive

da. db dc

JX d),

da db dc

dX du. . „ ,,

— — -+- w'-(.z2-4-jr2,> = G.

La conslante sera determinee par la condition que le volume est donne. On peut, dans cette formule, prendre x et y comme variables independantes, et z serait la fonction a determiner. On peut aussi particulariser le probleme en cherchant les surfaces de revolution qui sont solution de la question (Appell, Comptes rendus, iei* semestre 1912). Cette methode a ete appliquee par ML Collet [A 71 n a les de la Faculte des Sciences de Toulouse, t. IV, 19,2).

27. Formules differentielles qui se rattachent a la theorie du travail virtuel (Poincare, Lecons sur les figures d'equilibre, p. 24). — Les forces qui agissent sur la masse du fluide sont :

Les forces d'attraction mutuelle de la forme —

20 La force centrifuge, qui a pour composantes relativement aux axes mobiles mu^x, muJy, o;

3° La pression exterieure constante, qui exerce sur chaque element de la surface libre une force p0 da.

La condition d'equilibre est, d'apres le principe du travail vir tuel, que le travail des forces directement appliquees soitnulpour ton 1 deplacement virtuel compatible avec les liaisons.

CHAP. IV. — FONCTIONS DIVERSES. CALCULS ET RESULTATS PRELIMINAIRES. g3

Les liaisons, dans le cas qui nous occupe, sont exprimees par cc fait que le liquide est homogene, incompressible, sans frottement. Les deplacements compatibles avec les liaisons laisseront done le volume invariable.

Evaluons le travail des forces de pression. L'element superficiel ab est venu en a'b'(fig. 27). Designons par £ la projection

Fiff. 27.

sur la normale exterieure du de placement gg du centre de gravity de da. Le travail elementaire de ce deplacement virtuel est -^p0Zda. Tl faut le signe ■ — parce que la pression est dirigee suivant la normale interieure. On a

^2 [ — "ll™k ori/c -+- mta9-(x ox +7 &JK) — />o£

ik 2

Si W designe l'energie poteniielle, I le momenl d'inertie par r ip port a l'axe de rotation, il vient

D'autre part, l'expression l^da est evidemment la variation de volume de la masse fluide dans le deplacement virtuel considere, car ; da est le volume du petit cylindre de base da et de hauteur ^, < est-a-dire IT da = oT . On aura done finalement

I ' lie est l'expres.sion generate du travail virtuel total, pour on displacement quelconque compatible ou non avec les liaisons.

Pour un deplacement virtuel compatible av ec les liaisons, dT : 0. Le travail du aux pressions exterieures est mil et la condition

d'equilibre devienl

BrW ■+■ ~ 'j — °* 5VV ~~ ^ = °?

Gelte condition revient a ecrire quo \\ + — I est maximum on

minimum. Or, nous savons que cette condition necessaire n est pas suffisante. Autrement dit, pour tout maximum ou minimum de cette fonction, on a une position d'equilibre; mais il pourrait y avoir d'autres positions d'equilibre qui ne correspondraient pas a un maximum ou a un minimum.