Calcul de quelques variations. — Galculons maintenant
Y expression cVun certain nombre de variations , pour des deplacements virtuels quelconques.
On a d'abord, pour la variation du volume,
Pour la variation du moment d'inertie, considerons un deplacement virtuel quelconque, par exemple une dilatation qui amene la surface S en S' {fig. ?-*8). Le moment d'inertie total se compose
Fig. :>8.
du moment d'inertie du corps S et du moment d'inertie de la couronne comprise entre S et S'. On a done
(82) ol = f (x*- + yi)Xdv.
L'energie comprendra, dans les memes conditions : l'energie W de S, l'energie W/de la couronne, l'energie mutuelle de la couronne et de S. Si je designe par V le potent iel du au corps T,
CHAP. IV. — FONCTIONS DIVERSES. CALCULS ET RESULTATS PRELIMINAIRES . Cp
par \ , celui du a la couronne, par r/r( l'element de volume de la couronne, il vient
\\ g\V = W - W, j \ dxu o\V = W, -h J YKdct.
Mais il fa ut reniarquer que VV , est infiniment petit d'ordre superieur a l'integrale, car W , est 1'energie de la couche Ti infiniment mince et a pour expression
\ , est infiniment petit par rapj>ort a V et Ton peut ecrire
(83) oW = f Vtd*.
29. Relations entre l'energie, le moment d'inertie, le volume, la vitesse de rotation et la fonction des forces. — i° L'equation de I'equilibre relatif, qui est l'equation du probleme, peut s'ecrire en posant
I V -t- ^ + dp = dU.
Pour un deplacement virtuel absolument general, compatible ou nun avec les liaisons, on a
=f [v - y + r-)] = jf U^a.
Nous pouvons verifier maintenant ce qui ete dit dans le cas ou I'equilibre relatif existe. Sur la surface libre, U est constant, puisque sa variation, egale a celle de la pression, est nulle. Done, s i I \ a equilibre, dans un deplacement virtuel quelconque, compatible ou non, on a
B4 > o( W -- °~ f j = U0 ^ drs = U0 ST,
;t, si le deplacement est compatible avec les liaisons ST = o,
Dans le cas d un deplacement quelconque, on peut ecrire
oT
Considcrons maintenant un deplacement special, inliniment petit, qui laisse lous les elements homothetiques. Toutes les dimensions lineaires sonl alors multipliers par i +g, ou e est infiniment petit. Les formules ;Je dimensions etablies dans le eas 0^1 et / i nous donnenl
W--0W - W(i 4- e)' = W-h5e\V3 I -,- 81 = 1 -h hI; oT = 3eT< On a done
