W, I CO2 < W, I CO2 > W

30. Figures annulaires. — Poincare a deduit de ces relations une consequence remarquable, c'est que, pour des valeurs suffisamment grandes de 00, s'il y a encore des figures d'equilibre, I'axe de rotation ne rencontre plus le fluide. II peut alors se faire que certaines surfaces d'equilibre soient des surfaces annulaires. On peut d'ailleurs faire croitre co autant que Ton veut, a condition d'ajouler une pression exterieure constante suffisamment grande.

Nous faisons done l'hypothese suivante. Nous partons d'une certaine valeur de go pour laquelle il existe une figure d'equilibre, et nous Ifiisons croitre go. La figure d'equilibre se modifie, se deforme sans cesser d'exister, par hypothese. A chaque valeur de go correspondent alors certaines valeurs de W, I, U0. Le volume T reste constant. A un accroissement ow correspondront les accroissements oYV, 51, 3U0. La relation ci-dessus (87) donne alors

S \\ h ^ 51 a, 1 go) = I T oU„.

JgjSu 2 . 5

Mais, de plus, cette variation, qui laisse invariable le volume, est compatible avec les liaisons; et, en tenant compte du theoreme du travail \ irl uel (81), il resle

I 88 1 to I oeo = - T oU0.

AFPBLL. — IV 7

Divisons membre a membre cette relation et la relation (87;, il vient

W ■+-'-<*>* I Ti W-t--w*I . fc

2 Uo 2 vn 60)

ol 00 oil,, o/2I 0) 81

Si do) est posilif, dU0 le sera aussi. Si done on fait croitre w et que la figure d'equilibre continue d'exister, il arrivera un moment oli Ton aura w2> 271, el par consequent to- J > W, d'ou

to2 I 2 2

La formule ci-dessus deviendra done

Un oto 3 8U0 „ 2 00)

(80) < - Oil -r— > -x •

Cette inegalite a lieu a partir d une certaine valeur de w. En integrant a partir de cette valeur, on aura

- LU0> |Lw + G.

Si go croit, Uo croit aussi; et si oj augmente indefiniment, il en est de meme de U0.

II en resulte alors qu'a partir d'une certaine valeur de w, laxe de rotation ne peut plus rencontrer la surface duliquide. En effet, appelons P le point ou I'axe de rotation rencontre la surface libre. Ce sera le pole de la masse tournante. En tout point de la surface, on a

et au pole U0=V/,. Ainsi U0 est la valeur du potentiel an pole meme, s'il existe. Mais ce potentiel ne peut pas augmenter indefiniment, car si T est donne, on a vu que Ton a toujours A <^ 277a2, 011 a est le rajon de la sphere de meme volume (36).

Done, si Ton admet que la figure d'equilibre continue d'exister, il arrive un moment 011 l'axe de rotation ne peut plus rencontrer la surface libre. La figure doit devenir annulaire.