CHAPITRE V
FONCTIONS SPHERIQUES.
Nous venons d'etudier les theoremes generaux donnes par Poincare* et nous en arrivons aux questions particulieres qu'il a etudiees dans le Tome 7 des Acta mathematica. La melhode de Poincare repose sur l'etude des fonclions spheriques et des fonctions de Lame, dont nous allons examiner les principales proprietes.
31. Expression de AY dans un changement de variables. — Clierchons d'abord ee que devient l'expression de Laplace AV, quand on fait un changement de variables defini par
* ==/(?, '1, O, r =/i(5, K), z =/,($, rb 0,
on ;, £ sont trois nombres qui definissent les nouvelles coordonnees du point. On peut aussi dire que x, y, z est le point d'interst'ction des trois surfaces
; == const., 7) = const.. Z = const.
Nous supposons que ces trois surfaces sont orthogonales. Lavaleur de Telement lineaire devient
( go) d& = tlx"- + rfy2 — = a* 32 ofy2 + y2 dC^K
Gonsiderons le point M defini par £, yj, £ et les trois points voisins (fig. 29)
-h r,, C), M >< -+- dr„ r). M3(£, tj, X -+-
On aura alors
M M 1 = a M M , = fi </t„ MM:; = y c/r.
Les surfaces etant orthogonales, ccs cot6s sonl perpendiculaires. Appliquons a ce parallelepipede 6lementaire la formule de Green
Fig. 29.
(formule 1) pour le cas ou la fonctlon consid^ree derive d'un potentiel
J J jy d* j Js dn
Le premier membre se reduit a
Dans le second, la de>ivee suivant la normale exterieure se compose de six termes relatifs a chacune des faces. Considerons la face MM2M3 et la face opposee. Pour la face MMaM8 on a
di = j3y dq d'C,
dn
MM
ad!-
Le flux a travers cette face est done
Pour la face opposee, le flux est de signe contraire, la normale exterieure £tant de sens contraire, et sa valour est augmentee de la variation du flux quand on passe de M en M,. Ce flux est done
Le flux resultant a travers les deux faces oppos^es sera (drt, etant constants)
En ajoutant les expressions analogues pour les autres faces et
CHAP1TRE V. — FONCTIONS SPHERIQUES. IOI
divisant les deux membrcs par d*\, il viont finalement
Cette formule permet de calender AV pour un sjsteme de coor- <lonn£es orthogonales quelconques.
32, Definition des fonctions spheriques. — Les fonc Lions spheriques out ete introduites par Laplace. On les appelle aussi fonctions de Laplace. Ge sont les valeurs des poljnomes harmoniques el homogenes, prises aux differents points d'une sphere.
Nuns etudions d'abord les poljnomes harmoniques homogenes. Ge sont des poljnomes Pre(#, r, z), homogenes de degre ?i, qui verifient 1 equation de Laplace AV == o. Nous aurons done par definition
" &Pn d*-Pn d*Pn f p ,j . , \ JnX) . .
IV n = -r -j^- -h -j^- = o ct VN\kx, ky, kz) = k" P„( .r,y, z).
Combien j a-t-il de ces poljnomes d'un meme degre qui soient lineairement independants ?
Dans Pn(x, y, z) entrent^* 2^ coefficients arbitrages.
De plus AP„ est un poljnome homogene de degre n — 2. II consent done ^n coefficients arbitraires. Pour que Ton ait identiquement AP,t = o, il faut que tous les coefficients de AP„ soient
mils, ce qui etablit — — relations entre les ^n ' — ^ coef- 1 2 2 •
licients de P„. II reste done
coefficients arbitraires qui figurent dans P„ d'une facon lineaire et Immogene. On a, par exemple,
Po = G, n — o, avec un seul coefficient arbitraire;
Pa = Aa?+ Bjk ■+• C;, n = 1 , avec trois coefficients arbitraires;
V., — \ U 2 — y- ) -1- B ( #2 — z*- ) -+- Gyz -+- D zx -+■ E xy, n = 2 , avec cinq coefficients.
Le polynome harmonique le plus general pourra s'ecrire
(92) Pn= ^»,lPn,t+ ^n,2P«,2 ! ••• ''/7,27j-+-iP/i,2/i-H'
Les A sont des constantes arbitraires et les P/<?* sonL des polynomes harmoniques speciaux egalement de degre n.
Ges poljnomes etant formes, il est evident que si Ton fait un changement d'axes, sans changer l'origine, ils restent encore homogenes et harmoniques. Passons, maintenant, des coordonnees rectangulaires aux coordonnees polaires, definies comme il suit.
De l'origine comme centre tracons une sphere de rayon 1. All point M(x, y, z) faisons correspondre le point M! de cette sphere situe sur OM. M aura pour coordonnees OM — r et les coordonnees spheriques de M,, c'est-a-dire la colalitude H = POM et la longitude cp = xO m, ou m est la projection de M. On aura tous les points de la sphere en faisant varier Q de o a 71 et cp de o a 27: ( fig. 3o). On a
x = r sinO cos 9, y — r sin 0 sin 9, ^ = /-cosO.
Fig. 3o.
Portons ces valeurs de x, y, z dans le poljnome P„ ; comme il est homogene on aura
Pn(x,y, z) = rn P„(sin8 cos 9, sin 6 sine, cos 6).
Ce sont ces fonctions P„ en 9 et cp qui constituent les fonctions spheriques de Laplace. On peut dire que lafonction spherique est la valeur que prend sur la sphere de rayon 1 le polynome harmo-
