CHAPITRE V. — FONCTIONS SPHERIQUES. I

nique. On la designe ordinaircment par Y/t ; on a done (93) P/iC^ij^Ki) Si) = P//(sin0 coscp, sinOsin?, c s0) = Y,t(O, 9) 011 encore

Le polvnome P/t contient in -+- 1 coefficients arbitraires. II en est de menu1 de Y„, qui est alors la fonction do Laplace la plus generale de degre n. On peut l'ecrire

I «n I Y/t(0, 9) = a„}1Y„(,(0, <p)-hXWjS Y„>2(0, ?)+... .-hXn>2w+, Y„,8n+t(0, 9).

I jes fonctions Yn^ sont lineairement independantes. Au fond, les coordonneos 6 et 9 ne sont qu'apparentes, puisqu'en faisant tourner les axes d'une fagon quelconque, la valeur des poljnomes harmoniques surla sphere reste invariable, en chaque point de la sphere.

o3. Formation des fonctions spheriques. — Nous allons maintenant former ces fonctions spheriques. II suffit pour cela de transformer l'equation de Laplace AV — o, en y iutroduisant les coordonnees polaires, definies ci-dessus. On a alors

(Is- ~ dr- r- dO'2 -+- r2 sin2 0 ^92,

d'ou

a = [3 = r, y = r sinO.

II en resulte imm£diatement Texpression de AV

... • 1 [ 0 ( , . adV\ d I . adY\ d / 1 dV\l

<j°-Y 2 <W j t) / . gTYA i tP\

~ dr1 r dr ' sinO M I P J0 / + r2 sin2 0 dv* '

Au lieu de conserver Tangle 9 comme variable, on peut introduire aussi la variable t definie par

(g5) l = cosO.

On a alors

./• — /• y/i — i2cos9, y = r \] i — Psincp, z = it: I varie de — i a + i . On a encore — sin0 dd = <i£ et il vient

Nous aliens former maintenant une equation Mkbre que verifient les fonctions spheriques. Posons

P„(.r, y, z) /•" Y„(6, 9) = /■" \n{l, 9; et portons cette expression dans l'equation AV = o, il vient

ou, avec la variable t,

Ces equations definissent les fonctions Ynj assujetties en plus a etre des polynomes homogenes de degre" /i, en sin 6 cos 9, sin# sin o, cosfl, ou en y/i — t2 coscp, y/ 1 — V1 sincp,

Nous savons qu'il y a 2/1 + 1 de ces polynomes lineairement independants et nous allons les determiner sous une forme parliliere.

On peut ecrire

x == /• sin

V = r sinO : = /• t/i — /2 : ,

z = r cos 0 = r/.

En ordonnant le polynome Y„ par rapport aux puissances de e1?, on pourra l'ecrire

(98) Yn= 2 «'/"?X^ (p=—n.:.o... 11 1 .

X£ depend uniquement de 0 ou de t. Les exposants de sin 9 dans X{J sont de meme parity que l'indice superieur/?, de sorte que si p est pair Xfj est un polynome en si p est impair XJ contient y/ 1 — £2 en facteur.

Portons cette expression de Y„ dans l'equation (97 ) en t. L'equation devient, en faisant porter la sommation par rapport a p sur tout le premier membre,

2,1 "<" + ') <**Xfi+«"» I [(, - «*)^] - ^jf^tXfi} = o.