CHAPITRE V. — FONCTIONS SPHERIQUES. IOr

Liquation doil etre verifiee quel que soit cp, le coefficient de e'JHP doit done etre nul

Telle est 1 equation differentielle lineaire du second ordre qui definit \"n en fonction de t. L'integrale generate de cette equation est ti anscendante, mais il y a une integrate parliculiere qui est un polynome ou un polynome multiplie' par y/ 1 — t'2. G'est cette integrate que nous devrons prendre com rue solution.

On a ainsi defmi la suite des fonctions X^ pour toutes les valeurs de p(p varie de — 11 a -(- n). llemarquons que si l'on change/) en

/; 1 equation (99) ne change pas et que, par consequent,

Chaque fonction X{, n'est determinee qu'a un coefficient arbitraire pres.

En faisant p = o, dans cette equation on a la fonction XJJ. En donnant a p les valeurs de 1 a n on a les fonctions

elVX<, .... e'WXg, e'*qpX#,

puis de — 1 a — n les fonctions

On a bien ainsi in -(- 1 fonctions lin^airement independantes. En les additionnant et retranchant, pour faire disparaitre les imaginaires, on peut aussi les ecrire

X,1, cos?, Xft cos/?©, . . . , X^ cos/? ?.

1 1001 X^sino, .... X£ sin/?cp, X^sinn'cp.

Pour les determiner completement, il n'j a plus qu'a chercher les solutions de l'equation lineaire du deuxieme ordre a laquelle les X£ doivent satisfaire.

34. Etude du polynome de Legendre. — Etudions d'abord la premiere equation, celle qui correspond kp = o. La solution X" est bien connue. C'est ce qu'on appelle un polynome ofe Legendre. Cette solution constitue, comme nous le verrons, la fonction sphi-

!Of> FIGURES D'EQUILIBRE D'UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.

rique fondamentale. On a, en ecrivant simplement X„ pour XJ,

dont la solution est

Posons, en efl'et,

i< = £(*2— i)", ^ = 2knl(r~ i)"-1, « (t*~~l^r3i = 2niu-

Derivons — f— t fois les deux membres de cette derniere equation, d'apres la regie connue, on a

d,l^u , .dn+iu 2a(»-Hi) dnu dnrhi u , x dn u

— 2 111— — -f- 2/1 rt + I) 5

dln+1 v ; dt»

et comme X/z = on a, en remplacant

== 2 +2n(7l+l)Xn,

i) — £ + 2t-jf — n(n-h i)X„ = o.

Cette equation est bien identique a la proposee, car elle peut s'ecrire

d [ , „ „ dXn 1

On donne pratiquement a A- une valeur particuliere, et l'on designe sous le nom de polvnome de Legendre F expression

K ' 2n.n\ dln

Nous avons ainsi la premiere des 2/i + i fonctions de Laplace. Pour achever l'analjse de Poincare, nous allons montrer que les polynomes X'J s'expriment tous en fonction du poljnome de Legendre.