CHAPITRE V. — FONCTIONS SPHER1QUES

35. Determination des X£. — Nous remarquerons d'abord que si un polynome est harmonique, il le reste dans un changement d axes quelconque.

En prenant pour pole le point P ou l'axe des z rencontre la sphere cle rayon, i, nous avons obtenu la fonction XJ', qui estfonction de la distance polaire 9.

Prenons maintenant un systeme de coordonnees polaires dontle pole est P' (0' et o' sont les coordonnees de P' dans le systeme de P6le P) {fig. 3.)'.

La distance polaire dans le nouveau systeme est y = P'M et l'on a

cosy == cosO cosO'-f- sin 0 sin 0' cos(cp — ©'). Dans ce systeme la fonction X", consideree comme fonction de y,

Fig. 3i.

est une fonction spherique. G'est le polynome de Legendre relatif au nouveau systeme d'axes. Si nous revenons maintenant du pole P' au p6le P, la fonction X° (cosy) reste encore une fonction spherique et son expression en 0 et cp dcvient

X° [cosO cosO'-f- sinO sinO' cos(© — o')],

ou 9 et 9 sont les variables et 0\ o! sont deux parametres qui peuvenl prendre des valeurs quelconques.

Fntroduisons mainlenanl les exponentielles imaginaires et 6crivons l' expression sous une nouvelle forme :

X» ( cosO cosO'-h sin0 sinO' — — — -1 — ! — - J ,

Posons, avec Poincare,

sinO'*?'?' .„ sinO'e-

___ = ,{, — . ==rn;

£etY) sont arbitrages comme le sont 0' et 9', et alors XJ^cosy) devient, en remplacant cosfr par t et en remarquant que

sinks' = — 4 %r„ cos2e,=n-4|Tj,

Gelte expression est une fonction spherique quels que soient £ etr,. C'est-a-dire que l'equation differentielle quo verifie Yn sera verifiee par ce polynome en t et cp, quelles que soient les valeurs des parametres \ et rj.

Faisons d'abord 0 = o> 1.1 reste le poljnome

qui verifie, quel que soit £, l'equation differentielle des fonctions spheriques. Developpons cette expression par la formule deTaylor, nous aurons un developpement limite, puisque X" est un polynonie. L'expression consideree est de la forme f(t-{- h) et Ton a

dt dll>

Puisque cette expression est une fonction spherique, quel que soit chacun des termes de ce developpement, coefficient de \p , est lui-meme une fonction spherique. Nous trouvons ainsi les n -f- 1 fonctions spheriques suivantes :

d\?, . , . frdPX9, . . . .rd*X?,

X«, V^-i-^'^ W-V-afe'Pf, .., ^Y^einf.

Mais si Ton change 9 en — cp on aura encore des fonctions spheriques, parce que l'equation differentielle en Yn (97) ne change pas quand on y change cp en — cp. Nous aurons ainsi les n nouvelles fonctions spheriques