CHAPITRE V. — FONCTIONS SPHERIQUES

Eii ajoutant el relranchant deux a deux, on obtient

£ dP\°

x"- ■■■■ e*-^ stir

•••• Vr* ■■-

Nous letrouvons ainsi le tableau deja forme" (100) des 271 + r fonctions spheriques d'ordre n, lineairement independantes, mais tic plus nous obtenons ici Fexpression deX^

(io3) XPn=k{t^-ifa

dtf

Tons les poljnomes X£ sont done exprimes en fonction de X®. Si j> est pair X£ est un poljnome en £, si p est impair X£ est le produit par y/i — V1 d'un poljnome en t.

On adopte pour A" une certaine valeur pratique et l'on pose finalement

1 p- dP X°

on. en remplacant XjJ par son expression,

,U,J) X''=a"(n + j,)^ °" dpS*

En donnant a^p les valeurs 1, 2, ...,/*, nous obtiendrons les /i poljnomes X£. Le poljnome X° atoutes ses racines reelles etcomprises entre — 1 et + 1 . Le poljnome XJ admet les racines t — 1 et £ = — 1 et toutes ses autres racines sont reelles et comprises entre — 1 et -f- 1 .

36. Fonctions zonales, sectoriales, tesserales. — Les g^ometres anglais <>nt inlroduit, dans l'elude de ces poljnomes, une terminologie et une representation qu'il est utile de connaitre.

1 Le poljnome etant egale a o, on a une equation dont

toutes les racines sont reelles et comprises entre — 1 et -j- 1 . Soil / = t{ Tune de ces racines. Sur la sphere de rajon 1, l'ensemble des points pour lesquels on a costf= t{ est un petit cercle de pole P et l'on pent dire qu'une racine de Xn represente ce

cercle. Toutes les racines de \n qui est d'ordre n determinent done n petits cercles de la sphere. Les fonctions X° out et£ denommees pour cela fonctions zonales.

2° Les fonctions spheriques X" (t)cosny et X" (t) sinno etant egalees a o, etudions de meme leurs racines. XJ|(*) est une constante et les equations considerees se reduisent a

C(l- — i)"2 cos/* 9 — o. C'(t2 — if sin/i 9 = 0;

t = zt 1 representent les poles P et P^. Les n valeurs de <p qui annulent cos/icp, on smno, representent n meridiens equidistants. Les zeros des deux fonctions considerees representent done, surla sphere de rajon 1, des meridiens, et ces deux fonctions ont ete appelees sectoriales.

3° En donnant a p des valeurs comprises entre o et ra, on obtient encore in — 2 fonctions qui, egalees a zero, fournissent in — 2 equations. Les zeros de ces equations representent a la fois des meridiens et des paralleles. Ces fonctions ont ete appelees : fonctions tesserales.

En resume, les in-\-\ fonctions spheriques d'ordre n peuvent se decomposer a ce point de vue en 1 fonction zonale, 2 fonctions sectoriales et in — 2 fonctions tesserales.

37. Recherche des solutions de la forme /*(&) g(y). — Nous allons, en resumant l'etude des fonctions spheriques, presenter ces r^sultats de fagon a preparer l'etude des fonctions de Lame.

i° Nous avons d'abord cherche les poljnomes homogenes et harmoniques de degre n. II y a 2/1+1 poljnomes lineairement independants, qui satisfont a l'equation AP„ = o etle polynome le plus general qui satisfait a cette equation peut s'ecrire

20 Nous avons ensuite exprime ces polynomes en coordonnees polaires et nous avons ecrit dans ce systeme de coordonnees l'equation de Laplace, en y faisant

7, s) = r«Yn(6, 9).