CHAPITRE V. — F0NCT10NS SPHERIQUES. Ill

jNous avons cherehe la solution de l'equation de Laplace ainsi transform ee. Le fait remarquable est que l'equation AP„ = o ad met une solution Je la forme

(io0) Pn = r"f{0)g-M,

ou f(0) est mi poljnome en sin0 etcosfl, et£'(<p) est un polynome en sin 9 et cos 9.

11 y a in -h 1 solutions de cette forme.

Tels sont les resultats de l'analyse qu'on vient d'exposer. Mais on pourrait faire egalcmenl la theorie des fonctions spheriques en cherchant les solutions de l'equation AP„ — o, qui sont de la forme (106).

Posons d'abord Pn=rnYn] on a trouve, pour Y„, la relation (97').

Posons ensuite

Y„(0, ?)=/(8)^(?) ou Yn(t, 9) =/(<)*-(?).

En substituant cette deuxieme expression dans l'equation differentielle (97'), elle devient

n(n + !)/(<) £•(<?) + ^(cp) * [(1 - «•)/'(<)] + 7zr^^"(<P)/(0 = °' Les variables se separent immediatement sous la forme

- S§ = + 0 {I - rl) ^ m a [(I - ti)fm

Mai's t et 9 sont independants. La relation precedente ne peut done avoir lieu que si les deux membres sont constants. Nous avons alors, pour determiner £'(9), l'equation

Mais, de plus, g{y) est un poljnome en COS9 et sin 9 ou en ( )n pent l'ecrire

#(?) = ^ ap cos p 9 bp sin jo 9.

Ghaque terme de la derivee seconde reproduira le terme correspondant de g (9) multiplie par — p- et l'equation a laquelle satis-

fait ,A' (?) devient

Je dis que = — y>2. En effet, pour que cetle equation ait lieu quel que soit cp, il faut que tous les termes ap{p2-\-k) et bP(p--\- /« ) soient mils et, si k est different de — p*t tous les ap et tons les bp sont nuls. Quand, au contraire, p2 = o, alors et 6^ ne sont pas tous mils. Le polynome cherche g(o) se reduit done a

= a/; co$p® -h sin/?©.

iNous avons ainsi /: et g"(cp). Reste l'equation qui definit Elle admet comme solution un polynome 011 bien le produit d'un polynorae par y/ 1 — V1 . On trouve ainsi la solution

(107) X%(ap cos/?© -t- sin/?©)

et la fonction Yn, la plus generale, sera

(*o8 ) \ „ = ( cosy^ 9 /?,, -in/99;) x£ •

ou les coeflicients et 6^ sont arbitraires. II j a done 2/1-f-i coefficients arbitraires.

38. Proprietes integrates des fonctions spheriques. — i°Gonsiderons deux fonctions spheriques d'indices n et n' differents :

Y„(0, 9)elY^(0,9), on a

(109) ^ J*YnYn> sin 6 d?0 d<p == o ou ^ J*Y nY n' da = o.

Les limites de Fintegration sont pour # de o a 7T, pour 9 de o a 2 7: ; dans la deuxieme formule da est Felement superficiel de la sphere. Si Ton pose

cosO = t, — sinO dO ~ dt,

on a

/ dl f \ „ \ n> do = o.