CHAPITRE V. — FONCTIONS SPHERIQUES. I
Gette proposition se demontre immediatement par application du (heoreme de Green I formule 5, Chap. II).
Prenons une sphere de rayon r quelconque et de centre O. (lonsiderons deux poljnomes harmoniques P„ et P/t-. On a
Le premier membre est mil puisque APn = o et APn#=o. En passanl aux coordonnees polaires, Pn devient r"Y„(0, 9) et P„, devient rnlYn,(d, o). Les derivees, suivant la normale, sont
- — = -r- — = nrn~iYn, —. — = -3— = n r'1 1 Y„/. ane or ane <)r
En substituant alors dans l'egalite precedente, il vient o = (n — n')i -n+n'+i j ^ YnY„/sin0 dbd<o. .
Si n /i' , l'integrale double est nuJle comnie on l'avait annonce.
20 Si Ton prend deux fonctions spheriques de meme indice, et si Ton calcule Tintegrale analogue 21(109), que va-t-il se passer? Nous avons 2 // -+- 1 fonctions spheriques independantes d'ordre n en V'cos/>o et \^ sin/? cp. Si Ton prend deux fonctions qui different, soit par l'indice /?, soitpar le changement de sin en cos, on a encore nne integrale nulle.
En diet, prenons par exemple X£ cos/? 9 et X£ cos//cp, on a
J' sinO c/0 X^X/;' / cos/? 9 cos/?'o do = o, 0 ^0
parce que si p ^ p' la seconde integrale est nulle. Prenons X£cosjP<p et X^sinjocp. On a
J* cos/?9 sin/?s dz> = o el J* J*(X%)2 cosjocp sinp 9 sinG <a?0 dy = o.
La seule integrale non nulle sera done
ln=fYlda.
M'PKI.I.. — IV.
En effet, dans [n il j a le terme
(no) Ifl = j (X%)*dtJ cosher/-;
* f ' '(Xfl)* dt - (— iy ^
J, 2/i -hi (n— jp) !(#*■+-
Le terme ( — t )p provient de ce que dans Texpression de XJ entre le terme (£2 — i)2. On a le meme resultat pour XJ sin/? tp.
39. Developpement d'une fonction de deux variables en serie de fonctions de Laplace. — Gcs relations sont extremement importantes dans un probleme deja traite par Laplace. Voici comment le probleme so pose.
Quand on a une fonction/ (cp), on peut, sous certaines conditions, developper cette fonction en serie trigonometrique (serie de Fourier), sous la forme
/"(cp) = aQ-h di cos 9 -h bi sincp
On a ainsi une fonction de la position d'un point sur une circon-
ference.
De meme, donnons-nous une fonction de deux angles /(#, o) definie pour des valeurs de 0 variant de o a 7r et des valeurs de cp variant de o a 27T. On peut dire que /est une fonction de la position d'un point sur une sphere, car a toute position de M correspond une valeur de 0 et une valeur de cp. Inversement, a tout couple de valeurs 0, 9, correspond un point de la sphere.
Sous certaines conditions, on peut developper la fonction / en une serie de fonctions de Y„ et ecrire
/(6, 9) = Yp+Yi -+-... -4- Yn(8, ?)+...,
ou
(in) Y„(0, 9) =y^(\PcosP9 H-B/lsin/?9)X/;.
Laplace a, le premier, indique ce developpement; mais la premiere demonstration de sa legitimite est due a Lejeune-Dirichlet (Journal de Crelle, 1 83^ ) qui faisait certaines hypotheses sury, en prenant le cas simple ou / est suppose continu. Bonnet, puis
