CHAPITRE V. — FONCTIONS SPHERIQUES. I
Dini, ont donne des developpements valables dans des cas plus elendus, quand J ad met sur la sphere un nombre fini de discontinuitcs. Enfin, M. Darboux a etudie le eas ou la fonclion devient inlinie sur la sphere en un nombre fini de points.
La determination des coefficients, dans le cas ou la fonction est finie et continue partout, n'oflfre pas de difficultes. Nous allons voir que, le developpement etanl admis, il n'existe qu'un seul developpement, autrement dit que les coefficients A£ el B£ sont determines completement.
En effet, supposons que J\0, 9) admette un developpement en fonctions spheriques et puisse s'ecrire
/(O, j) = Yo+Y1 + ...H-Y„(e; 9)+...;.
1*0111* avoir l'expression du coefficient multiplions les deux membres de l'egalite precedente par X^cos/?cp, on a
/(9, o)X£ cos/> 9 = Xfj cos/>«p(Y0-H Y !■-+-. . ;-hYB-h....)j
puis
(112) J ?)Xflcos/xpsinerf0^ \/;r/;.
On obtiendra de meme B£.
II faudrait montrer, ensuite, que le developpement est convergent et qu'il represente bien la fonction donnee : ces proprieles sont demontrees dans les Traites d' Analyse.
M). Probleme de Dirichlet pour la sphere. — 1" Prenons pour unite le rayon de la sphere, et donnons-nous pour chaque couple ilr valeurs de 0 et 9 la valeur d'une fonction V0. Ils'agitde trouver line fonction V£- finie, continue et harmonique a V interieur de la sphere de rayon 1 et qui, sur la sphere, se reduit a V0.
Developpons alors V0 sur la sphere en une serie de fonctions sph£riques, en admettant que V„ remplisse les conditions qui permettent ce developpement :
La solution du probleme sera donnee par
ti6 figures d'equilibre d'une masse liquide en rotation.
En eflet, /• £tant <; i a l'inierieur, la serie est encore convergente a l'interieur, si la serie primitive l'etait et, com me chaque terme est un polynome harmonique, on a pour tous les points AV,= o.
2° On peut anssi resoudre le probleme de Dirichlet pour un [>oint cxterieur. II s'agit de trouver une fonction \e qui, sur la sphere, se reduit a V0, qui, a l'exterieur de la sphere, est finie, continue etsatisfait a l'equation AVe^ o, enfin qui, a l'infini, tend j
vers zero coin me - • /•
Pour resoudre ce probleme, il suffit de remarquer, comme Fa fait W. Thomson, que l'equation (97), qui definit Ynj ne change |>as quand on change n en — (n + 1). Or, rnYn est une fonction harmonique, done > n est egalement une fonction har-
monique.
Si sur la sphere on donne V0, nous aurons a l'exterieur
Tous les termes sont des fonctions harmoniques et a l'infini lapartie prmcipale est — •
41. Potentiel d'une simple couche spherique. — Etant donnee une sphere, supposons que sur la surface soit repandue une couche materielle infiniment mince (simple couche). On la definit en donnant la density superficielle jjl en chaque point de la sphere. La masse repandue sur un element da sera \ida.
Prenons pour unite le rayon de la sphere, on peut developper p. en une serie de fonctions Y „ :
\x = Y0+.Y1+. . . H- Yn H-
Chaque fonction Yft depend de 2 n + 1 coefficients arbitraires.
Nous nous proposons de calculer le potentiel de celte couche, a l'exterieur et a l'interieur de la sphere etsurla sphere. Cherchons a determiner le potentiel V0 sur la sphere et a le developper en une s6riede fonctions spheriques. On aura alors le potentiel interieur et exteiieur parla methode du probleme de Dirichlet. Posons
