CHAPITRE V. — FONCTIONS SPHERIQUES

done

(Il6) Vo= V()-h Y", -+-... -i- Y'„ -!-....

II s'agit de determiner les fonctions Y'n on, plus exaclement, les coefficients arbitraires des diverses functions Y'n. On aura alors a I'interieur eta Texterieur

lour determiner V0, ecrivons en un point M quelconque de la sphere, e'est-a-dire dela simple couche, la relation connue

Kt'18)

i° On a d'ou

dV d\ drii dne 1

dtit = — dr et r = i, d\ dVi

On a de raeme

c?/ie — dr et

d'ou

La relation (i 18) ci-dessus devient

Celte relation est vraie pour tous les points de la sphere. Les deux developpements constamment egaux representent done la m£me fonction. Gomme une fonction n'est developpable en fonctions spheriques que d'une seule maniere, il faut que les fonctions du m^rae ordre soient les monies, e'est-a-dire

(2/i + i)Y'„ = 4jcYn.

( )n a done

Le probleme est ainsi completement resolu.

Remarque. — On pourrait arriver a c<3 resultat en appliquant directement le theoreme de Green. On isolerait le point M par une

demi-sphere interieure et Ton "prendrait y pom l'une des fonc-

tions figurant dans le calcul.