FONCTIONS DE LAME

Historique. — Ces fonctions se sont presentees toutd'abord •lans l'elude de la diffusion et de l'equilibre de la chaleur. La surface d'un corps est supposee a une temperature donnee : en chaque point il s'agit de determiner le mouvement de la chaleur et s'il j a lieu l'etat d'equilibre atteint au bout d'un certain temps. Fourier et Poisson avaient resolu le probleme pour une sphere homogene. Us avaient resolu aussi le probleme pour le volume compris entre deux spheres concentriques. Dans ce dernier cas, la temperature est donnee en chaque point de la surface exterieureet dela surface inlerieure et il faut determiner le mouvement et l'equilibre. Pour iv soud re ces problemes, on se sert des fonctions sphgriques que nous avons reconnues etre de la forme rnf(9) g(y).

Le probleme pour l'ellipsoide est reste longtemps sans solution. Lame l a resolu en introduisant des fonctions speciales qu'on appelle maintenant fonctions de Lame. Quand l'ellipsoide se reduit a une sphere, les fonctions etudiees par Lame (Journal de Liouville^ 1839) se reduisent aux fonctions spheriques, qui, a ce point de vue, sont un cas de degenerescence des fonctions de Lame. INous emploierons les notations de Poincare dans les Fig ures d'equilibre.

Y.\. Introduction des coordonnees elliptiques. — Gonsiderons les surfaces du second degre

c < 6 < a et /.- — a- < /.- — b- < a- — c-.

Les surfaces oblenues quand X varie sont appelees surfaces liomofocales. Elles constituent un systeme triple orthogonal caracterise chacun par I'une des trois racines en X2de l'equation (i ig). Par tout point P de l'espace passent trois de ces surfaces: i" Un ellipsoide pour lcquel la valeur correspondante de X que nous designerons par p est plus grande que a. — 2° Un hyperboloide a une nappe H, ; la valeur de X, que nous dcsignerons par jut., est comprise entre a et b. — 3° Un hyperboloide a deux nappes H2 ; la valeur v de X est comprise entre b et c. D'ailleurs on ne peut pas avoir X << c, autrement on aurait des surfaces imaginaires. Ainsi les trois racines positives de l'equation en X qui exprime que les surfaces liomofocales passent par un point P sont p, /j., v, el Ton a

Ces quantites p, p., v sont les coordonnees elliptiques d'un point de l'espace. A un point P correspond un seul sj steme de valeurs p, jui, v, mais a un systeme de valeurs p, /jl, v correspondent huit points de l'espace : ce sont les huit points d'inlersection des surfaces p, /jl, v, points qui sont deux a deux symetriques par rapport aux plans de coordonnees.

Donnons-nous done p, |x, v et calculons x, y, z. On a evidemment l'identite fondamentale qui definit p, fx, v comme les racines de l'equation ci-dessus

/T<>nx g , .7- , -2 . (P2- A«)([x»— X«)(ya— X*)

Le coefficient de X6 est bien — i dans les deux membres.

Pour avoir x-, multiplions les deux membres par X2 — a'2, puis faisons X2 = a2. On a

(,,,) *.= (p»-a»)(u»-a»)(vW);

On obtient de mime pour et 3

■ = (p2-^)(|^-frQ(y*-^) o (>2-c--)(^-c-Q(v2-^)

On obtient loutes les valeurs de x2,y2} z2 en donnant a p, /j., v loutes les valeurs possibles dans leur intervalle de variation. On a