CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAME

d'ailleurs pour y, z un doable signe devant le radical. Poar avoir tons les points de l'espace on donnera d'abord a tous les radicairx le signe -f- et l'on fera varier p de + oo a a, puis de a a -h oo, el ainsi de suite en changeant le signe du radical au moment ou il s'annule. De meme on fera varier (u de a a b, puis de b a a et v de h a c <Ji (le c a &, en changeant le signe du radical quand il s'annule.

14. Expressions en p, p., y d un polynome en .r, j , z. — Gonsiderons un polynome Qn (x, y, z) de degr6 rc, homogene ou non. Remplagons x} y, z par leurs valeurs en p, (u, v. Alors Q„ devient s\ metrique en p, p., v puisque .r, 5 le sont. De plus, il sera de degre n en p, a condition de convenir que \J — a2 est du premier degre en p (pour p Ires grand, cette expression est en effet du premier degre d'in(initude).

Nous allons etudier certaines formes particulieres du polynome Q„ et la forme du polynome transforme. Nous distinguerons quatre classes :

Premiere classe. — Le polynome Q/z est un polynome en #2, i s3, ne contenant que des puissances paires. Si k est son degre pat rapport a x2, y2 , z2, on a n — ik. L'expression transformee esl nn polynome en p, /j., v, symetrique et de degr6 2k en p, en p., et en v :

Deuxieme classe. — Le polynome Q/t est de la forme / IN a?2, y2, z2), ou P est un polynome de degre k en #2, y2, ,s2, d un n — ik 1. L'expression transformee est

./• P(ar2, j2, s2; = C \/p2 — a1 \\>.-—al y v2 — «- <l>(p2, |J-2, v2).

I I'est une expression de degre 2 A ■ + 1, d'apres les conventions, car '!> esl de degre" 2 A- et le produit des radicaux est. du premier degre en p, p., v. On aura de meme

v P(^, j2, s2) = C VP" — b- sj^ - b* VV-— b1 <I>(p2, jx2, v2), 3 P(a?2, jr2, c2) = G" vV2— «2 \ V2 — c2 vA2 — c2 $(p2, <j.2, v2);

C, C, C etanl des constantes qui dependent de a, b, c.

Troisieme classe. — Le polynome Q„ est de la forme yzP(x2, y2, qui est de degre 2 A 2, si P est de degre k en x\y\ z\

L'expression transformee est

= Ci V/(P2— b1)(f-— C2) V/(,Jl2 62)(Ixt cr) V/(V2 6-2)(V2 C2)

x <I>(p2, [j^2, yz),

<t> etant du degre 2 A en p, jx, v, l'expression totale est du degre 2/^ + 2, avec notre convention. On aura encore les deui

expressions

zx P<>2, J2, z°-)

= C\ v/(p2— c2)(p2— a2) v7(!J-2— c2)([jl2— a2) yV'2 — c2)(v2 — «*) X #(p2, a2, v2); xv P(.r2, JK2, s2)

= G'i v/(p2— «2)(p2— &«) yV— «a)(ns— &*) i/<v2— a2)(v2— 62)

Quatrieme classe. — Q/( est de la forme a?jsP(a?2, y-, 2'-), done // = 2 A — |— 3 . L'expression transformee est encore de degre 2 A" — {— 3, avec nos conventions

.ryzVi x\ y\ S2) = < U v/( ?2 —«"')( ?2 ?- — C2 ) ^ ' P'2- '

ZT/i resume, nous avons considere quatre classes de polynomes. La premiere classe comprend un seul type de degre" pair, la deuxieme trois types de degre impair, la troisieme trois types egalement de degre pair, enfin la quatrieme un seul type de degre impair. Nous avons done quatre types de degre impair et quatre types de degre pair, en deux classes chacun. Ces huit types suffisent d'ailleurs dans tous les cas puisqu'un polynome quelconque Vn peut toujours etre decompose en une somme de polvnomes rentrant dans les types considered.

Les expressions transformees sont symetriques en 0, ,u, v. et du meme degre que les polynomes primitifs en x, y, z} moyennant la convention indiquee.