CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAME

45. Probleme inverse. — Nous allons maintenant. en sens inverse, examiner diverses formes speciales des expressions transformees et voir a quelle forme des polynomes elles corresponded .

Soil /\p~) un polynome de degre k en p2. G'est done un poly- Dome de degre pair 2/1, en p. Soient de merae j\[J-~) et /(v'2) 1° mime polynome en /jt.2, v2.

1" Considerons la fonction symetrique en p, jjt, v, constitute par le produit f(p2)f(p2)f(v'2). Puisque e'est une fonction syme- Lrique des racines de l'equation (119)

c est une fonction rationnelle des coefficients de cette equation et par consequent une fonction rationnelle (et meme entiere) de

Supposons en elFet que f(p2) soit decompose en facteurs, ainsi que /(p2) et/(v2) qui ont les memes racines, on a

aOCfx*-— a2).

.(fx2-

Le produit considere est done de la forme

^(p2)/(^)/(v2)=JJ[(p2-aO(^-ai)(v2-ai)].

lu \ enons alors a Fidentite fondamentale (1 20) et faisons-y >.2 = a,-; on a

( 1 22 • 1 p- — a,- 1 ( a 2 — xA ( v- — at) — G ( — — H ^ Tn H — - — 1 )

el le produit considere peut s'ecrire

b23) /(p2)/(jX2)/(v2)=G,n(— -^yr-:- 1)

qui esl un polynome special, decompose en facleurs quadratiques en xy y, z.

2° Considc Tons maintenant les expressions

\fpZT& /( p2 )? v/;x2 1JL2 )f vvZT^ /(V2 ),

et cherchons de quel polynome est derive" leur produit.

Le produit des trois radicaux n'est pas autre chose que x a un facteur constant pres. Nous venons de voir la forme du produit des trois fonctions /. On aura done, en designant par Q le polynome de la forme precedents decompose en facteurs quadratiques, les trois formes suivantes, a un facteur constant pres :

v'Ps— «V(P2) V>2-«2/(P-2) v/v*— "a*/(v») = * Q(*«, J2, ~2),

v/p2 s/(p«) c*/(n2) v/^F^/Cv*) = * Q(**, r2, **).

3° Considerons les expressions suivantes et leur produit

\J\ p*— 0*)f( 02), V/(fJ-2— a*)( [A2 — 6* ) /( |A2),

on voit imm^diatement que Ton a, a des facteurs constants pres, pour l'expression des trois produils :

JJ vV- «2) (p2- *2)/(p2) - *r Q(«*» r2.- sa

n v/(ps-^)(p2-^)/(?'-)=.v- j2, p> ^ v

4° Enfin on voit de meme que le produit des trois expressions analogues a

sera egal a

./• r; Q(#2, JK2, s2).

J^/i resume, les polynomes particulars que nous venons de considerer se decomposent en quatre classes, qui se ramenent identiquement aux quatre classes a?2, j-2, considerees plus haut :