CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAME. Vl
tout indique et qui introduit les fonctions elliptiques. En effet, ['expression A A~ j ? ou A j- apparaitdeuxfois, conduit a poser
d?p , du. , 6?V ,
[127) -j- = du, ^ —<*>V\ Yy —
c'est-a-dire
ou p sera fonction uniquement de m et, reciproquement, \j. fonction de v et v fonction de w.
Com me on a
d\ dX dp d\ t d .F. d
jT~ — ,) -7- = vr et —(F) — A — {V ),
du °p da dp du dp
il \ iendra finalement
(J28) VS)— -|-(v2 — p2) + (p3 fj.2) . = o.
du2 dv1 dw1
11 faut maintenont exprimer p, p., v en fonctions de et e'est ici que s'iutroduisent les fonctions elliptiques. Lame avail utilise les notations de Legendre et de Jacobi, qui ont l'inconvenient de n'etre pas symetriques. Poincare a utilise les notations de \\ cierstrass.
17. Rappel de quelques notions sur les fonctions elliptiques. — 1 " Le point de depart est celui-ci. Considerons l'equation
wt x ds
U*9) = dz.
\f£s*—g2s — gz
Le polynome sous le radical est du troisieme degre, g2 et g$ sont des conslantes. En integrant, on tire s en fonction de z en supposanl s -co pour ; = o, et Ton [>ose s ~ pz qui est la fonction inverse de la fonction z(s) definie par
ds
2" La fonction pz est la fonction elliptique fondamenlale (').
(') Voir Appel et Lacour, Precis de la Theorie des fonctions elliptiques <iauthier-Villars).
j 2 8 FIGURES D'EQUILIBRE D'UNE MASSE LIQUIDE EN ROTATION.
Pour z = o, on a 5 = oo, et z = o est un pole d'ordre 2 de ps. En developpant pz dans le voisinage de l'origine, on a
Celle fonction admet deux periodes qu'on designe par 2w et 2w', ce qui donne
p(Z + 2(0 ) = p3, p(i + 2ft)') = pZ.
3° Dans le cas qui nous occupe, les racines de l'equalion du polynome du troisieme degre sous le radical sont reelles :
(i3o) 4-s3 — ,">s — §z = 4(* — ei)~(s — ei)(s — ez) iet < ei < e\ )•
On sait que g> est alors negatif. On a de plus, le coefficient de setant mil,
I ci . go est reel, et Ton peut le prendre positif ; de plus, w' est purement imaginaire et Ton peut lui donner le signe + .
4° Ge qui nous interesse, ce sont les valeurs de z qui rendent s reel. Dans le cas actuel, ou e,, e2, sont reels, s est reel quand c
Fig. 32.
if
+ CK} y
se deplace sur les cotes du rectangle ajant pour sommets o. w, to 03', to' 32).
Partons de o, pz est infini. Quand z croit de o a to, s = pz d£eroit de -f- go a e, . Puis quand zva dewaw + w', a to' enlin a o, pz decroit successivement de ex a e2) a e3, enfin a — 00. Pour ce dernier point, on voit en effet, par le developpement en serie, que pz est infini et negatif quand z s'approche de l'origine par valeurs purement imaginaires.
