CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAME. I2<J
Ainsi (juand la variable imaginaire decrit le contour considere, la fonction pz prend toutes lcs valeurs reelles comprises entre + x el — x.
Nous allons voir, en ce qui concerne les polynomes de Lame, qu'il faudra, pour avoir des expressions replies, que u varie de o a co, r de co a co + co', enfin w de co -|- to' a to'.
5° ( )n a, en posant s = pz — p,
(«3 0 ff. = P' - = V » *3 — s — A'*.-! = 2 v/(p — ci)(p — <?•> ) (p — e, ), d'ou Ton tire, en elevant au carre et derivant de nouveau, < i r>. ) 2pV= i^P2 J>' — gtP', p" = 6p2—
6° En(in nous avons vu qu'en representant 5 dans le plan de la variable complexe, pz est reel (dans le cas ou e,, e2, <?3 sont reels) sur le contour du rectangle des demi-periodes et Ton a
p(o) = ±oo, po> = eh p(w + to') = e2, po)'= ez.
-" On demontre que la fonction \! pz — e, est uniforme. II y a la quelque chose d'analogue a ce qui se produit en trigonometric ou la fonction \l i — sin- it est uniforme, malgre le radical. On pose
j)33) \ p — e \ = ,p , , \Jp — e, = p, , v P — e3 = Pa •
Les fonclions j),, p.2, sont doublement periodiques aussi, mais n'ont pas tout a fait les memes periodes que p. Voici le tableau des changements de signe que subissent ces fonctions par I'addilion de 2 to ou de 2w', ainsi que le tableau de leurs periodes :
Periodes.
i w' >. to'
On a par exemple j)' — :>. )), p >p.i. la derivee a pour periodes el '; c'esl ce qu'on peut verifier : en ajoutant 2to, on voit que pt ne change pas de signe, p2 et j)3 en changent tons deux, ce qui ne change pas le signe. 11 en est de meme avec 2 to'.
APPBLL. — iv. 9
P Pi
Pj Pi
2 0) 2 co 4 CO
48. Notations symetriques et reduites de Weierstrass. — Uappe-
lons-nous les changements de variables qui definivsent 11 , r, ce, en fonctions de p, v, ainsi que l'inegalite
Posons
et
«'2— # = e\, b^—g — e^ c0-—g = e-,„ ou g est defini par la condition ex -f-e2 + <?3 = o, c'est-a-dire
On ramene ainsi les equations (12^') en da, dv. dw a la forme reduite de Weierstrass
ds
(i35) = dfc,
ou Ton a e3 <C ^2 < , car c2 < 62 < a3.
On aura alors s — pu sous la condition que, pour s—O. u soit infini.
On aura done p2 — pit 4- g. Or nous savons que p"2 doit varier de + 00 a a-. Alors s doit varier de + oc a a- — g — ^1? il suffit done de faire varier u de o a w sur l'axe des quantites reelles.
On aura de meme p2 = pv -f- g et pour que soit reel, il faudra faire varier c de w a w + co', c'est-a-dire pv de ex a et ;jde a2 a b-.
Enfin, on a v- = pw -h £\ II faudra faire varier w de w + w'l w', de e2 a ^3 et v'2 de b '2 k c >.
Avec ces notations en j) et e, les expressions de x'2, y-. z- (121) deviennent plus simples et s'ecrivent sjmetriquement :
(pu — ev){pv — g,)(p»,— ei) (<?,— <?.>)(<?,— e3)
(P" — g2)(p^ — g3)(P^' — ga)
(<?.2 — <?3)(e2 — «i) (pit — e:i ) ( p v — e-, ) (p w — gj ) ^ (<?3— *i)(e3 — ea)
On voit de plus sur ces formules que ehaque parenthese ajant pour racine une fonction uniforme, x, )\ z sont des fonctions
