CHAPITRE VI. — FONCTIONS DE LAME. I
uniformes de i/. r, w. En faisant varier u, p, w dans leur domaine de variation, on obliendra tous les points de l'cspace.
L equation de Laplace prend de meme une forme simple et -\ metrique, car >j.- — v- devient pr — pw et A V s'ecrit d'apres (128)
NJ2V . sd*\ , N</2V
" >7 » (Pv — P^lfaT +(PW — PU) ^7 ■+-(?»— pt>) j-; = 0.
I'oiite solution de celte equation traduite en y, z donnera une fonction Y (x. r, z) qui satisfera a l'equation de Laplace.
Fonctions de Lame et produits de Lame. — i° Prenons l'equation de Laplace sous la forme A V = 0 et proposons-nous de chercher des poljnomes en x, r, c de degre n, qui satisfont a cette equation. Quand on passe des coordonnees x,y^ z aux coordonnees p, j.. v l'equation A\ — o prend la forme (126) etV devient une fonction entiere algebrique de 0 et des radicaux \l p- — a2, \/ p- — 62, \ 0- - c2. de [j.. de v et des radicaux correspondants. Nous avons vu que \ esl sjmetrique en p, p., v et qu'il est de degre n separement en p, en [j. et en v, a condition de considerer les radicaux com me elanl du premier degre. Enfin, quand on passe des coordonnees / . r. 3 aux coordonnees e, tr, alors Y devient une fonction algebrique, sjmetrique, entiere des quantites
pit. ^pU — eu \;pt( — e,, \pu — e:i, pv, ...
el AV prend la forme (i3~).
Reciproquement, si Ton prend de telles fonctions symetriques de 0, |m, v ou de u. r, w. en remontant aux x, y, s, on retrouvera des pol vnomes.
2 Lame cherche toutes les solutions de cette nature et les trouve to u les en essajant les solutions de la forme
V = /(p2)/(fx2)/(v?)5
"ii / est un polynome, le meme dans les trois facteurs. Cherchons d'abord les solutions de la forme
V = RMN,
"ii R depend seulement de p-, M seulement de et N de v-.
Substituons cette valour de V dans (126), on a
dp dp dp \ dp )
et il \ ient
(,2.)AMN.|(Af)
*(--?')BNK - (B + I (Cf ) = ,
En divisant tout par RMN on obtient F expression
on le coefficient de \x- — v9 est fonction de p seulement. celui de v- — p2 fonction de p. et celui de p2 — /x2 fonction de v. Ajoutons a cette equation les deux idenlites suivantes :
CM-2 v2)p2-t- (v2 p2) jT- + ( p* - |x2 ) v2 = o,
on obtient ainsi trois equations lineaires bomogenes, par rapport aux quantites — v-, v2 — p2, p2 — . Ces trois quantites ne sont pas nulles toutes a la fois. Le determinant des coefficients doit done etre mil. 11 existe ainsi une relation lineaire et bomogene entre les coefficients d'une meme colonne. On aura done. K. et H etant des constantes.
A d / dR\ u ,
ou. d'apres ( 1 27),
